DM TS Exponentielle

[invitea2a33af2]

Voilà, je bloque complètement sur un exercice de mon DM :

Le plan est rapporté à un repère r= (O,i,j). On considère les droites D₁ et D₂ d'équations respectives dans le repère r, y = (5/4)(x+1) et y = (5/4e)(x+5).
Soit k et t un réel non nul. On appelle (C_k,t) la courbe représentative dans r de la fonction f_k,t(x) = t e^kx.

Le but du problème est de montrer qu'il existe deux points distincts M₁ et M₂ et deux valeurs de k et t tels que la courbe (C_k,t) soit tangente à D₁ en M₁ et à D₂ en M₂.
On note x1 et x2 les abscisses respectives des points M1 et M2. Déterminer en fonction de k les deux réels x₁ et x₂.
2. Calculer k et t. Représenter graphiquement la solution du problème en traçant (C_k,t), D₁ et D₂

Donc, d'après moi, il faut résoudre : kt e^kx = 5/4 et kt e^kx = 5/4e . Mais je ne sais pas comment la résoudre !
Si vous pouviez m'aider ...
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[Ecthelion22]

Salut,
tu es bien parti. En effet, estimer que pour avoir une tagente il faut le même coefficient directeur au point voulu est juste. Mais tu oublies un autre élément important : pour avoir une tagente, il ne suffit pas d'avoir un coefficient directeur identique, il faut aussi que les deux courbes aient un point commun.
Ce qui revient à dire que t e^kx₁ = (5x₁+5)/4
Tu te retrouves avec deux équations et deux variables (tu vas constater que le t peut être rapidement simplifié).
Et donc tu pourras exprimer x₁ en fonction de k. (Idem pour le second point)

Cordialement,
Ecthelion