Correction d'un raisonnement par récurrence.

[invite8efa6fc2]

Bonjour à tous.

Je dispose de la suite déterminée par la donnée de u₀ = 1 et de la relation de récurrence u_n+1 = (u_n + 5) / 2 pour tout n de N.

1) Je dois démontrer par récurrence que pour tout n de N, u_n [0 ; 5]. Et là, je ne suis pas sûre de moi ; je viens juste d'apprendre ce type de démonstration et j'aimerais savoir si justement, dans le cas présent, je l'ai bien appliqué.

J'ai donc fait l'initialisation :

pour tout n = 0, on obtient u₁ = 7/2 donc u_n [0 ; 5] vraie pour n = 0.

Puis l'hérédité :

on admet que c'est vrai pour n = k ; je dois alors démontrer que c'est vrai pour n = k + 1 donc que u_k+1 [0 ; 5].

On a admis que u_k [0 ; 5].

Calculons u_k+1 le plus petit possible donc lorsque u_k = 0 on obtient u_k+1 = 5/2.

Puis calculons u_k+1 le plus grand possible donc lorsque u_k = 5 on obtient u_k+1 = 5.

J'en ai conclu que u_k+1 était nécessairement compris entre [5/2 ; 5] et donc que initialisée et héréditaire, l'affirmation u_n [0 ; 5] était vraie pour tout n de N.

Est-ce juste ???

2) Je dois en déduire que (u_n) est croissante. J'ai écrit : sachant que un [0 ; 5] et que u_n+1 est obligatoirement supérieur ou égal à 5/2, la suite était croissante (numérateur > dénominateur).

3) Je sèche. "Que peut-on alors conclure quant à la convergence de la suite (u_n) ? Pourriez vous m'éclairer ?

Merci d'avance.
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[invite06fcc10b]

Bonjour à tous.

Je dispose de la suite déterminée par la donnée de u₀ = 1 et de la relation de récurrence u_n+1 = (u_n + 5) / 2 pour tout n de N.

1) Je dois démontrer par récurrence que pour tout n de N, u_n [0 ; 5]. Et là, je ne suis pas sûre de moi ; je viens juste d'apprendre ce type de démonstration et j'aimerais savoir si justement, dans le cas présent, je l'ai bien appliqué.

J'ai donc fait l'initialisation :

pour tout n = 0, on obtient u₁ = 7/2 donc u_n [0 ; 5] vraie pour n = 0.

Ca commence mal, pour n=1 ça donne 3, car U0 ne vaut pas 0 mais 1 !!!
De plus, on doit écrire "pour n=0" et non "pour tout n=0" qu ne veut rien dire.
Enfin, je suppose que Un appartient à [0;5], il manque appartient dans ta phrase.

Puis l'hérédité :

La récurrence ...

on admet que c'est vrai pour n = k ; je dois alors démontrer que c'est vrai pour n = k + 1 donc que u_k+1 [0 ; 5].

TB, mais il faut rajouter "appartient" à [0;5]

Calculons u_k+1 le plus petit possible donc lorsque u_k = 0 on obtient u_k+1 = 5/2.

Tout faux, tu confonds n et Un !

Tu as posé que Un était entre 0 et 5, donc tu as 0<Un<5
et il faut que tu montres que 0 < Un+1 < 5 !!!
A toi de jouer !

Cordialement,
Argyre

[invite0022ecae]

Bonjour Otsaku, je
OK pour 1)

2) Pour démontrer que Un est croissante, il faut montrer que Un+1 - Un > 0 en utilisant le fait que Un [0;5] et des encadrements
3) Pour montrer la convergence tu cites le théorème concernant les suites croissantes majorées (ici par 5 puisque Un [0;5] ).

[invite0022ecae]

argyre écrit"tout faux, tu confonds n et Un !"
Pas d'accord, elle utilise son hypothèse de recurrence sauf qu'elle n'écrit pas un encadrement comme toi mais une phrase tout à fait équivalente

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