Question sur les suites

[invite323995a2]

Bonjour à tous. Je suis en terminale S et j'ai un exercice pour demain sur les suite. Je pense avoir trouvé le raisonnement mais je bloque dans mon calcul. Voici le sujet: U0= 1 et quelque soit n de N, U(n+1)= (Un+1)/(Un+3)

1°) Démontrer que quelque soit n de N que 0 < U(n+1) < Un < 1

Je pense déja qu'il faut prouver que Un est décroissante pour tout n de N, de cette façon Un+1<Un .

J'ai donc Un+1 - Un = [Un + 1 - Un(Un+3)] / Un + 3 = [Un(1-Un-3) - 1]/ (Un+3) mais c'est ici que je ne sais plus comment faire pour prouver que c'est négatif.

Une fois que j'aurais prouvé ceci je pourrais dire que U0>Un comme Un décroissante. Par contre je ne sais pas comment prouvée que la suite est minorée en 0, est-ce que c'est le fait qu'une suite est toujours positive?


2°) Pourquoi la suite (Un) converge t-elle? Trouver sa limite.

Je sais qu'une suite décroissante et minorée en N converge et a une limite
l > N . Donc pour ce cas précis elle convergerait en 0 si je ne dis pas de bêtises.


Si quelqu'un pourrait m'aider à finir cette question 1) ou à me corriger, c'est avec plaisir

Merci d'avance.
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[invite0022ecae]

quand tu écris 0<U_n+1<U_n<1,il doit y avoir des <= quelque part, non ?

[invite323995a2]

Oui je ne savais pas comment les noter. Toutes les inégalités sont larges en effet

[invite0022ecae]

Il faut d'abord montrer que 0<Un<1 et on fait çà par récurrence, si tu ne sais pas comment faire, je suis également en train d'aider mickadu66 qui a le même type d'exo donc tu peux t'en inspirer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite323995a2]

J'ai abordé cette notion mais je ne la maîtrise pas parfaitement l'hérédité:

Initialisation: Uo=1 donc 0<Un<1

Hérédité: Soit un naturel n tel que 0<Un<1. Démontrons que 0<U(n+1)<1.

0<Un<1 (=) 1<Un+1<2 (=) [1/(Un+3)]< (Un+1)/(Un+3)< 2/Un+3

Or 1/Un+3> 0 car Un>0 et 2/Un+3<1 puisque le maximum qui peut etre égal c'est à 1/2 donc 0<Un<1. Juste ou faux . Mais après faudrait prouver que Un+1<= Un et ça je bloque numériquement.

Et est-ce que mon petit b est juste?

[invite0022ecae]

3<Un + 3<4 donc 1/4 < 1/(Un + 3) < 1/3
donc 1/4 < (Un + 1) / (Un + 3) < 2/3 et 0<U_n+1<1

[invite323995a2]

Est-ce que mon petit b est juste?

[invite0022ecae]

Si ton b c'est la même chose que 2) alors c'est faux

Si une suite est décroissante et minorée par N alors elle converge mais pas forcément vers N.