Différence particulière dans une base k

[Seirios]

Bonjour,

J'ai un exercice assez intéressant, et j'aimerais savoir si mon raisonnement est correct (parce que l'énoncé n'influence pas forcément dans ce sens) :

Un nombre s'écrit avec deux chiffres. La différence entre ce nombre et celui obtenu en permutant les deux chiffres est égale à . Dans quelle base cette égalité a-t-elle lieu ?

Je retranscris l'énoncé : . Mais on doit également avoir . En additionnant ces deux égalités membre à membre, on obtient , soit, en écrivant (c'est-à-dire en passant de la base k à la base décimale), k=-2, ce qui est impossible, puisque même introduisant la notion de base négative, on ne pourrait pas écrire .
Il n'existe donc aucune base dans laquelle cette égalité ait lieu.

Ce qui me dérange, c'est que la question aurait tendance à faire penser qu'une telle base existerait, pourtant ma démonstration me semble correcte, et j'ai également trouvé deux autres manières qui me permettrait de le montrer...

Quelqu'un pourrait-il me dire si j'ai raison ? (dans le cas contraire, ne me dites pas la réponse, je préfèrerais la trouver par mes propres moyens )

Merci d'avance
Phys2
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[Coincoin]

Salut,

Mais on doit également avoir

Pourquoi ?

[Seirios]

Pourquoi ?

J'utilise l'énoncé ; si je considère le nombre , et que je le soustrais à , alors je dois obtenir .

Sinon, voici une deuxième méthode :

On réécris l'égalité dans la base décimale : , d'où , donc k-1 doit être un multiple de 3, c'est-à-dire égal à 1, -1, 3 ou -3. Si l'égalité est vraie, alors nous devrions trouver au moins une solution parmi ces propositions. Or nous trouvons pour possibilités de k : 0 (ce qui n'aurait pas de sens), 2 (ce qui n'est pas possible, puisque nous pouvons écrire ), -2 (qui n'est pas possible pour la même raison), et 4 (qui ne fonctionne pas en prenant un exemple). Donc, une nouvelle fois, il ne devrait pas exister k tel que l'égalité soit vraie. (j'ai abrégé la rédaction, il y a quelques points que je n'ai pas précisés, mais ils ne sont pas essentiels ici)

[Coincoin]

Soit tu as ab-ba=12, soit ba-ab=12, mais pas les deux !

4 (qui ne fonctionne pas en prenant un exemple)

Prendre un exemple ne suffit pas. On ne te dit pas que c'est vrai pour tout a et tout b, mais seulement qu'il en existe un couple qui marche.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

On ne te dit pas que c'est vrai pour tout a et tout b, mais seulement qu'il en existe un couple qui marche.

Alors j'ai compris l'énoncé de travers, parce que je pensais que cela devait être vrai pour tout a et b...Effectivement, l'énoncé mentionne simplement "un nombre", et non "un nombre quelconque"...

Dans ce cas, je conserve ma base égale à 4, et j'obtiens une restriction sur a et b. Finalement, l'égalité est vraie dans la base 4 pour .

Merci Coincoin

[God's Breath]

Bonjour Phys2,

Finalement, l'égalité est vraie dans la base 4 pour .

Tu as finalement bien compris l'exercice, mais il reste un petit détail : en base 4, les valeurs de et ne sont pas quelconques (tu as bien éliminer la base 2 pour une telle raison). Il te faut encore déterminer s'il est possible d'obtenir .

[Coincoin]

Du coup, je viens de comprendre ta première méthode avec ba-ab. Dommage que ce ne soit pas l'exercice demandé, mais c'était élégant !

[Seirios]

Tu as finalement bien compris l'exercice, mais il reste un petit détail : en base 4, les valeurs de et ne sont pas quelconques (tu as bien éliminer la base 2 pour une telle raison). Il te faut encore déterminer s'il est possible d'obtenir .

Oui, après il y a les finitions pour une rédaction propre, et il faut notamment, en effet, restreindre les valeurs de a et b par a,b<4, ce qui donne finalement deux possibilité :

Du coup, je viens de comprendre ta première méthode avec ba-ab. Dommage que ce ne soit pas l'exercice demandé, mais c'était élégant !

En tout cas, je suis rassuré, parce que mon raisonnement était correcte, ce n'était qu'un problème de lecture de l'énoncé, qui me permettrait de ne plus faire l'erreur