Prendre des initiatives pour trouver une solution

[invite323995a2]

n est un entier naturel non nul.

Démontrez que l'équation x^(n+1) - 2x^n + 1 = 0 admet une racine comprise entre (2n)/(n+1) et 2.
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[invite323995a2]

Alors personne trouve?

[Jeanpaul]

On trouve mais on préfère quand on dit bonjour.

[invite323995a2]

On trouve mais on préfère quand on dit bonjour.

Bonsoir. Je l'avais déja dit sur un autre forum je pensais que vous l'aviez vu....Désolé sinon.

Bon d'après l'énoncé il faut dans l'ordre suivant que:

-Je prouve la continuité de f sur I=[(2n)/(n+1)];2]
-Je prouve la stricte monotonie de f sur I
-Je prouve que f(a)*f(b)<0

Ainsi je peut prouver que f(x)=k avec k=0 admet une racine dans I.

Hors je n'arrive pas à prouver la continuité de f sur I.
Si quelqu'un pourrait venir à mon aide, ce serait vraiment sympathique.

Cordialement, Millionsdollar.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Bonsoir,

As-tu essayé de dériver la fonction f ?

f : x ----> x^(n+1) - 2x^(n) +1

PS : Je n'ai lu que ton premier message ...

[invite323995a2]

Oui mais c'est justement là que j'ai du mal. Parce quand je la dérive, je tombe sur f'(x): (n+1)*x^n - 2*n*x^(n-1). Et après je ne sais pas quoi faire. Car il me paraît bien compliquer de trouver si f'(x) est positif ou négatif.

[Arkangelsk]

Etudier le signe de la dérivée ne pose pas problème. Tu peux te restreindre à une étude sur R+ dans ton exercice. En revanche, c'est l'étape suivante qui me paraît plus délicate.

[invite323995a2]

J'essaye au brouillon mais même en faisant l'étude sur R+ je n'arrive pas à prouver que f'(x) est positif. Le calcul de la dérivée est juste au moins? Pourrais-tu déjà m'aider pour prouver la monotonie de f sur I?

[Arkangelsk]

Le calcul de la dérivée est correct. Tu devrais trouver un minimum en x = (2n)/(n+1). Tiens, tiens .

[invite323995a2]

Si x= 2n / n+1.Alors j'obtiens f'(2n/n+1)= (n+1)*[(2n)/(n+1)]^n -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1).
=2*[2n^n / (n+1)^(n-1)] -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1). C'est ça que je n'arrive pas à simplifier.

Et après avoir prouver la monotonie, comment prouver la continuité?

[Arkangelsk]

Si x= 2n / n+1.Alors j'obtiens f'(2n/n+1)= (n+1)*[(2n)/(n+1)]^n -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1).
=2*[2n^n / (n+1)^(n-1)] -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1). C'est ça que je n'arrive pas à simplifier.

Et après avoir prouver la monotonie, comment prouver la continuité?

Hola, il y a beaucoup d'incohérences ici .

Bon, je précise quand même qu'on s'éloigne de ton énoncé (que tu n'avais pas donné dans ton 1er post ...).

Alors, en dérivant, j'ai supposé que la fonction était continue et de plus, dérivable. Note bien ceci, si une fonction est dérivable, alors elle est continue. La réciproque étant fausse.

Et après avoir prouver la monotonie

Arg ... La fonction n'est pas monotone, que je sache !

Si x= 2n / n+1.Alors j'obtiens f'(2n/n+1)= (n+1)*[(2n)/(n+1)]^n -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1).
=2*[2n^n / (n+1)^(n-1)] -2*n*[(2n)/(n+1)]^(n-1). C'est ça que je n'arrive pas à simplifier.

Tu dis ça parce-que je t'ai donné le résultat. Tu dois partir de f'(x)>0, et regarder ce que cela implique.