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Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels



  1. #1
    Percevalgui

    Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels


    ------

    Bonjour, je n'arrive pas continuer un exos sur les suites assez compliqué...

    Tout d'abord il dit : (x)n , n € N est def par x0 = 1
    et x(n+1) = 1 / (1+x(n))

    Premiere quesiton, démontrer par récurence que x(n) est rationel je pense avoir trouvé. Puis on note b = (-1 racine(5))/2

    a)vérifier que b = 1/(b+1) et que x0 > b (je pense aussi avoir juste.)

    b) démontrer pour tout n de N : si x(n)>b , alors x(n+1)<b
    c) démontrer pour tout n de N : si x(n)<b , alors x(n+1)>b

    à partir de là je ne sais pas trop quoi faire, ou quelle démarche adopter. Merci d'avance pour votre aide !
    Au revoir

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Salut,
    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    b) démontrer pour tout n de N : si x(n)>b , alors x(n+1)<b
    c) démontrer pour tout n de N : si x(n)<b , alors x(n+1)>b

    à partir de là je ne sais pas trop quoi faire, ou quelle démarche adopter.
    Il faut simplement partir de l'hypothèse (pour la question b) puis construire :


  4. #3
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    ah oui d'accord c'est tres simple, et rapide. DOnc je l'ai trouvé, et j'ai aussi vérifié (question d)) que x(n+1) = 1+x(n)/2+x(n).

    Mais pour la question 3.a), il demandent : En utilisant un raisonnement par l'absurde, démontrer que :
    si x(n) > b alors x(n+2) < x(n)
    si x(n) < b alors x(n+2) > x(n)

    le raisonnement par l'absurde consiste montrer plusieurs choses qui ne peuvent pas etre vraie ensemble?

  5. #4
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Pardon, j'ai vérifié que x(n+2)=.... et pas x(n+1)=.... autant pour moi !

  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    le raisonnement par l'absurde consiste montrer plusieurs choses qui ne peuvent pas etre vraie ensemble?
    Oui et non. Ça consiste à supposer le contraire du résultat auquel on veut aboutir puis à montrer que ceci mène à une contradiction. On en déduit alors que la supposition faite au départ était fausse (donc que "le résultat auquel on veut aboutir" est vrai).

    Pour la question
    En utilisant un raisonnement par l'absurde, démontrer que :
    si x(n) > b alors x(n+2) < x(n)
    on veut aboutir à donc on suppose le contraire : . Il faut ensuite se servir de cette hypothèse et de l'hypothèse pour arriver à une contradiction (par exemple, si l'on arrive à montrer que on a une contradiction puisque l'on ne peut pas avoir à la fois et ).

    Je ne suis sûrement pas très clair mais je n'arrive pas à faire mieux.


    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    Pardon, j'ai vérifié que x(n+2)=.... et pas x(n+1)=.... autant pour moi !
    Au passage, x(n+2) = 1+x(n)/2+x(n) se lit car la division est prioritaire sur l'addition. Des parenthèses bien placées permettent d'éviter au lecteur d'avoir à choisir entre





  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    oui en effet, dsl pour les paranthèses.

    Donc je vais essayer de résoudre cette quesiton avec votre aide de départ. Je marquerai ce que je trouverai , en espérant que ce sera cohérent et juste héhé.

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  10. #7
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Je pense que j'ai quelque chose :

    Supposons : si x(n) > b alors x(n+2) >(ou égal) x(n)

    x(n) > (ou égal) b
    x(n)/(2+x(n)) < b
    (1+x(n))/(2+x(n)) < b
    x(n+2) < b

    De plus : x(n) > b donc x(n) > b > x(n+2)
    donc x(n) > x(n+2)

    sauf que l'hypothese de départ dit que que x(n+2) > x(n) .

  11. #8
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    donc je dit : Or il est impossible que x(n+2) soit à la fois lus petit et plus grand que x(n) ...
    et je conclue quoi du coup? Parce qu'on vien donc de montrer que l'hypothese qu'on a choisit était fausse, donc c'est celle de l'énoncé qui est forcément juste?

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    Je pense que j'ai quelque chose :

    Supposons : si x(n) > b alors x(n+2) >(ou égal) x(n)
    J'écrirais plutôt "Supposons que et que ".
    x(n) > (ou égal) b
    x(n)/(2+x(n)) < b
    (1+x(n))/(2+x(n)) < b
    x(n+2) < b
    Je ne comprends pas ce que tu fais. Comment passes-tu de la première inégalité à la seconde ? de la seconde à la troisième ?
    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    donc je dit : Or il est impossible que x(n+2) soit à la fois lus petit et plus grand que x(n) ...
    et je conclue quoi du coup? Parce qu'on vien donc de montrer que l'hypothese qu'on a choisit était fausse, donc c'est celle de l'énoncé qui est forcément juste?
    Oui. On sait que l'on a soit soit . Si l'une des deux inégalité est fausse, l'autre est forcément vraie.

  13. #10
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    non en effet c'est faux, j'ai compris le sens de raisonnement par l'absurde, mais ma démonstration (ou mon raisonnemet) est faux.
    Pouvez vous me mettre sur la piste ?

  14. #11
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    Pouvez vous me mettre sur la piste ?
    On peut essayer de montrer que en calculant la différence puis en prouvant qu'elle est négative.

    Quelques indices :

     Cliquez pour afficher


     Cliquez pour afficher

  15. #12
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    les deux termes à mettre au même dénominateur ne sont pas plutot (1+x(n))/(2+x(n)) - x(n) ?
    ce qui donne ((1+x(n))-(2x(n)+x(n)²))/(2+x(n))

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  17. #13
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    les deux termes à mettre au même dénominateur ne sont pas plutot (1+x(n))/(2+x(n)) - x(n) ?
    Si. (c'est ce que je voulais dire...)
    ce qui donne ((1+x(n))-(2x(n)+x(n)²))/(2+x(n))
    Oui.

  18. #14
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    jsuis désolé, je ne comprend pas comment marche la factorisation que vous avez marquée ?
    en plus je trouve au numérateur un polynome de la forme b² - b + 1 au lieu de b² +b - 1

  19. #15
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    en plus je trouve au numérateur un polynome de la forme b² - b + 1 au lieu de b² +b - 1
    Bah , non ?

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    jsuis désolé, je ne comprend pas comment marche la factorisation que vous avez marquée ?
    Si l'on connait les deux racines et de , on peut factoriser ce polynôme : .

    Savoir que (autrement dit, que est une racine de ) nous permet d'écrire . Il suffit ensuite de développer le membre de droite pour trouver (deux polynômes sont égaux ssi tous leurs coefficients sont égaux).

    Si cette méthode ne te convient pas, calcule simplement les deux racines et en utilisant le discriminant. C'est un peu plus long mais on tombe sur le même résultat (heureusement ).

  20. #16
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Bon alors j'ai calculé le delta, je trouve 5, donc la 1ere racine ( r1) est : (-1 + racine(5)) / 2 = b (donc jusque là j'ai retrouvé votre factorisation avec les racines qui done (X - b ) ( X - r2) , sauf que je n'ai pas compris comment trouver r2, si je le calule par le discrimant, cela me donne un nombre négatif à virgule, or nous sommes dans les entiers naturels, donc j'ai du faire une erreur , mais je ne vois pas ou en venir en fait .... on calcule tout ça pour montrer que la différence est négative, donc que x(n+2) < que x(n) c'est ça?

  21. #17
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    Bon alors j'ai calculé le delta, je trouve 5, donc la 1ere racine ( r1) est : (-1 + racine(5)) / 2 = b (donc jusque là j'ai retrouvé votre factorisation avec les racines qui done (X - b ) ( X - r2) , sauf que je n'ai pas compris comment trouver r2, si je le calule par le discrimant, cela me donne un nombre négatif à virgule,
    Normalement, si on a donc c'est effectivement un "nombre négatif à virgule".
    or nous sommes dans les entiers naturels, donc j'ai du faire une erreur , mais je ne vois pas ou en venir en fait ....
    Que viennent faire les entiers dans cette histoire ?
    on calcule tout ça pour montrer que la différence est négative, donc que x(n+2) < que x(n) c'est ça?
    Oui. Il est plus facile d'étudier le signe du numérateur quand il est écrit sous la forme que sous la forme .

  22. #18
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    donc comme la seconde racine que je trouve est :
    (-1-racine(5))/2 , ceci est égal à -1/b ?

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  24. #19
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    alors j'ai continué la question en admettant que r2 = -1/b pour essayer et j'ai dit : donc b et -1/b sont des racines du polyomes x(n)² + x(n) -1 que l'on peut alors écrire sous la forme :
    x(n)² + x(n) - 1 = (x(n) - b )( x(n) + 1/b )
    -(x(n)² + x(n) - 1) = - (x(n) - b )( x(n) + 1/b )

    Or on sait que x(n) > b donc x(n) - b > 0
    On sait aussi que b < x0 c-a-d b < 1 donc 1/b > 1 !!!
    donc x(n) + 1/b > 0

    alors (x(n)-b)(x(n)+1/b) > 0 donc -(x(n)-b)(x(n)+1/b) > 0

    de plus 2+x(n) >0 donc x(n+2) - x(n) < 0
    donc x(n+2) < x(n)

    Or c'est impossible car x(n+2) ne peut etre plus grand et plus petit que x(n), donc si x(n) > b alors x(n+2) < x(n).

    Ai-je bon dans le déroulement? si oui pouvez vous alors m'expliquer comment on a obtenu r2= -1/b ? Merci d'avance

  25. #20
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    donc comme la seconde racine que je trouve est :
    (-1-racine(5))/2 , ceci est égal à -1/b ?
    Oui, mais il faut le montrer (c'est pour cela que je t'ai d'abord conseillé la méthode sans le discriminant : on trouve rapidement sans avoir à jouer sur les écritures des nombres). L'astuce classique consiste à multiplier numérateur et dénominateur par la quantité conjuguée de qui est :


    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    alors j'ai continué la question en admettant que r2 = -1/b pour essayer et j'ai dit : donc b et -1/b sont des racines du polyomes x(n)² + x(n) -1 que l'on peut alors écrire sous la forme :
    x(n)² + x(n) - 1 = (x(n) - b )( x(n) + 1/b )
    -(x(n)² + x(n) - 1) = - (x(n) - b )( x(n) + 1/b )

    Or on sait que x(n) > b donc x(n) - b > 0
    On sait aussi que b < x0 c-a-d b < 1 donc 1/b > 1 !!!
    Cette dernière ligne est vraie car et . Si était négatif on aurait . (du coup il est plus simple de se limiter à "comme , donc ... ")
    alors (x(n)-b)(x(n)+1/b) > 0 donc -(x(n)-b)(x(n)+1/b) < 0
    Attention au sens de la deuxième inégalité (je l'ai corrigée en rouge).
    Ai-je bon dans le déroulement?
    Oui, ça m'a l'air très bien.

  26. #21
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Donc en suivant la même idée j'ai fait l'autre partie de la question où il faut montrer par l'absurde que si x(n) < b alors x(n+2) > x(n) (c'est le même raisonnement en fait donc j'espere que j'ai juste sur la premiere partie lol).

    ET la toute derniere question dit: En déduire que :

    x1 < x3 < x5 < ... < b < ... < x4 < x2 < x0 , donc on a montré depuis la question 2b) jusqu'a celle là que :
    si x(n)>b alors x(n+1)<b et x(n+2)<x(n) et que
    si x(n)<b alors x(n+1)>b et x(n+2)>x(n)

    mais je ne comprends pas trop comment déduire cette réponse ...

  27. #22
    Percevalgui

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    d'accord j'ai calculé par la quatité conjugué et j'ai trouvé

    -2 / (-1+racine(5)) , ce qui est bien égal à -1/b

    Merci beaucoup !

  28. #23
    Flyingsquirrel

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    Citation Envoyé par Percevalgui Voir le message
    mais je ne comprends pas trop comment déduire cette réponse ...
    On peut le faire en deux temps :

    1- montrer que est supérieur à si est pair, inférieur à si est impair (je crois qu'il vaut mieux traiter le cas pair et le cas impair séparément);

    2- montrer que et que (idem, je conseille de traiter le cas pair et le cas impair séparément)

    À chaque fois il faut partir des valeurs de et de et utiliser les bonnes propriétés pour en déduire les inégalités voulues.

  29. #24
    nonodor78

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    bonjour,

    moi je pense avoir le même devoir que Percevalgui et je voulais savoir comment il a pu faire pour la première question soit:

    Démontrer que pour tout n, x(n)>0
    puis que pr tt n, x(n) est un rationnel

    L'énoncé était: (xn) est la suite définie par x0=1 et pour tout entier naturel n, x(n+1))=1/(1+x(n))


    merci!

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  31. #25
    nonodor78

    Re : Exos suites : encadrer racine(5) par des rationels

    comment montre t-on que tous les termes de rang pair sont > b
    -----------------------------------------------------impair sont <b
    ??

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