Racine de 2 et les suites...

[invitec143d2c6]

bonjours voila j'ai un DM a fair sa va fair 2h30 que je bloque sur la troisième question! je ne peut pas continuer sans y répondre donc je solicite votre aide!!

Les objectif sont les suivants.
On veut démontrer que: Racine caré de 2 n'appartient pas a l'ensemble Q. A cet effet on fait un raisonnement "par l'absurde" c'est-à-dire qu'en supposant que racine de deux égale p/q avec p et q entier non nuls de PGCD 1, on démontre qu'on arrive a une contradiction
On utilise se résultat pour manipuler ensuite des suite géometriques.

1) Démontrez que le carré de tout entier pair est pair, que le carré que tout impair est impair et en déduire que le carré d'un entier est pair ssi cet entier est pair.

Suposons n nombre pair nous avons donc
n²= n x n = n+n+...+n (n fois)
hors l'addition d'entier pair donne toujours de nombre pair donc un entier pair élever au caré donne un entier pair.
par le même raisonnement nous pouvons donc dire que les entier impair élever au caré donne toujours des nombres impair se qui implique que les carré des entier sont pair seulement si ces entiers sont pair.

2) Supposons que racine de 2 égal p/q(1) avec p et qentiers naturels non nuls de PGCD un.

Démontrez que (1) équivaut à p²=2q² (2). Déduisez de (2) que p est pair, puis en complétant le raisonnement que q est pair aussi. Concluez.

(V2 représente racine de deux)

V2 = p/q
(V2)² = p²/q²
2= p²/q²
2q²=p²
d'où p²=2q²

p²=2q² hors comme les multiple de 2 sont pair on peut dire que "2q²" est pair soit "p²" pair mais comme nous l'avons démontrer plus haut "un entier au carré n'est pair que si cet entier est pair" donc p.
Comme p est pair il peut donc etre représenter sous la forme 2n. Se qui veut dire que b² est représenter par 2n² hors comme nous l'avons déjà dit les multiple de deux sont pair donc b est pair.

Nous pouvons conclure que p/q est irréductible hors notre raisonement est basé sur cette affirmation il n'est donc plus cohérant alors V2 n'appartient pas a l'ensemble Q.

3) De ce qui précède, déduisez que si l'on peut écrire a+bV2= a'+b'V2 avec les rationnels a, b, a', b', alors a=a' et b=b'.


est la je ne comprend plus... peut etre ai-je fait une erreure avant sur la question 1 ou2??? aidé-moi!!!!!!
Merci d'avance!
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[invitec143d2c6]

désoler pour le double poste je me suis tromper de boutons j'ai appuyer sur citer au lieu de modifier...

[danyvio]

3) De ce qui précède, déduisez que si l'on peut écrire a+bV2= a'+b'V2 avec les rationnels a, b, a', b', alors a=a' et b=b'.
Si ci dessus est vrai :
bv2-b'v2=a'-a -> v2(b-b') = a'-a -> v2 = (a'-a) / (b-b').
Si a était # de a' OU b # b' on aurait v2 € Q ce qui n'est pas possible

[Gwyddon]

Salut,

Ta démonstration du point 1) est fausse dans le cas impair (ex : 5+5 = 10, 10 est pair et pourtant 5 est impair...)

Même dans le cas pair, c'est un peu embrouillé... Tu n'as pas réellement exploité l'hypothèse "n pair", or si tu le fais tu dis que n=2q, tu élèves au carré et tu regardes ce qui se passe.

Cette méthode étant aussi applicable au cas n impair...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec143d2c6]

ok merci pour la trois je voyer pas sa dans se sens la!

sinon pour la une j'y avais pensé mais sa donne n²=4q² non? mais je voie pas se que sa me rapporte!

[Gwyddon]

ok merci a vous donc si je comprend bien il faut que je fasse la démonstration avec une suite géometrique?

Non ce n'est pas du tout ça, il n'y a pas de suite géométrique dans l'histoire.

Il s'agit d'écrire ce que signifie "n pair". Cela signifie que n est divisible par 2, donc qu'il existe un certain entier q tel que n = 2 * q. Rien à voir donc avec les suites géométriques


Pour ce qui est de la démo de danyvio, il y a une erreur : diviser par b'-b n'est possible que si b différent de b'... Donc il faut traiter séparément les cas b=b' et b différent de b'.

[invitec143d2c6]

ok merci avec sa je devrai m'en sortir!
encor merci!

[Hamb]

3) De ce qui précède, déduisez que si l'on peut écrire a+bV2= a'+b'V2 avec les rationnels a, b, a', b', alors a=a' et b=b'.
Si ci dessus est vrai :
bv2-b'v2=a'-a -> v2(b-b') = a'-a -> v2 = (a'-a) / (b-b').
Si a était # de a' OU b # b' on aurait v2 € Q ce qui n'est pas possible

Je comprends pas bien ta conclusion, ce qu'on cherche à démontrer par l'absurde, c'est que V2 n'appartient pas a Q. On suppose donc que V2 appartient a Q. Tu ne peux pas donc avancer comme contradiction que V2 ne peut pas appartenir à Q puisque c'est justement ce que tu veux démontrer. Ou je comprends pas bien ce que tu dis, ou tu expliques mal, ou c'est faux :/

[Gwyddon]

La question est différente, il n'est plus question de savoir si oui ou non est rationnel ou non, puisque cette question a déjà été résolue à la question d'avant, donc on peut prendre son irrationnalité comme acquise et s'en servir dans les démos

[Hamb]

Ah vi j'avais pas fait attention ^^ j'ai rien dit.