Asymptote oblique d'une fonction exponentielle

[invite261b8c53]

Bonjour, voila mon problème, je dois étudier la fonction : (x-2).exp(3/x)

J'ai trouvé comme dérivée seconde : (exp(3/x).( -3x-18 ))/x^4 qui s'annule en 6, j'ai donc un point d'inflexion en x=6.

Mais le problème c'est que cette fonction a une asymptote oblique d'équation y= x+1 en -infini

Est-ce qu'une asymptote oblique peut admettre un point d'inflexion comme ça ? ( Sur le graphique de la fonction, ça ne se voit pas du tout que la fonction change de concavité )

Mais surtout, lorsque je calcule la valeur "b" de mon asymptote qui est sensée être égale à 1, j'obtiens -2...

Pourrais-je donc avoir le développement de cette limite : lim ( (x-2)exp(3/x) -x ) ( x tendant vers - infini ) ?

Ca doit être tout con comme développement, mais je bloque --'
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[pallas]

Est ce bien la fonction f définie par f(x) = (x-2) e^(3/x)
Si oui la dérivée que tu proposes est fausse!
Par ailleurs tu parles d'une droite ( asymptote oblique ) ayant un point d'inflexion Propos etrange !

[invite261b8c53]

Oui c'est bien cette fonction. Quelle en est sa dérivée seconde dans ce cas ? J'ai une casio 100 qui me permet de calculer les dérivées et j'avais vérifié mes réponses...

[invitef29758b5]

Salut
Détaille tes calculs , sinon il est impossible de savoir ou tu t' es trompé .
f(x) = (x-2).e^3/x
f'(x) = ???? penser à (u'v + uv')
f"(x) = ????

L' éditeur avancé permet d' écrire e^{3/x .} C' est moins lourd que exp(3/x) , donc n' hésite pas à l' utiliser .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite261b8c53]

Voilà mes calculs :

f'(x) = e^(3/x).(-3/x²).(x-2) + e^(3/x).1
= e^(3/x).( 1 + ( -3x+6 )/x²)
= e^(3/x).( x²-3x+6 )/x² ( dérivée toujours positive, donc courbe croissante, ce qui se vérifie bien sur le graphique )

f''(x) = ((e^(3/x).(-3/x²).( x²-3x+6 ) + e^(3/x).( 2x-3 )).x² - 2x.e^(3/x).( x²-3x+6)) ( le tout sur x⁴ )
= ((e^(3/x).(-3).(x²-3x+6) + e^(3/x).( 2x³-3x² )) - e^(3/x).( 2x³-6x²+12x ) ( toujours sur x⁴ )
= e^(3/x).( -3x²+9x-18+2x³-3x²-2x³+6x²-12x )
= e^(3/x).( -3x-18 )/x⁴


Si tu arrives à trouver ma faute, ce serait génial, j'ai beau le faire et le refaire, je n'y arrive pas.

Et en ce qui concerne la limite en -infini de (x-2).e^(3/x) - x voici aussi le développement :

lim e^(3/infini) = 1 donc on a la lim (x-2-x) = -2 ( je sais que c'est faux, mais je n'arrive pas à trouver une autre façon de faire )

[invitef29758b5]

En utilisant le développement limité de e^{3/x ,} tu verras que la limite de (x-2).e^3/x est x+1

[invite261b8c53]

On a pas encore vu le développement limité de e^x... Enfin, je n'avais jamais entendu ça avant. Il n'y aurait pas une manière plus simple ?

Et pour la dérivée, avez-vous réussi à trouver ma faute ?