Bonjour, j'aurais besoin qu'on vérifie mes réponses au devoir maison. Voici les exercices:
Exercice 1:
La fonction f est définie sur [0;+inf[ par f(x)= (20x+10)e^((-1/2)x)
1) Etudier la limite de la fonction f en +inf.
2) Etudier les variations de la fonction f et dresser son tableau de variation.
3) Etablir que l'équation f(x) = 10 admet une unique solution strictement positive a dans l'intervalle ]0;+inf[. Donner une valeur décimale approchée à 10^-3 près de a.
Exercice 2:
On va démontrer que lim de x qui tend vers +inf de e^x / x² = +inf
(NB: > veut dire ici supérieur ou égal)
a) Démontrer que pour x>1, (e^x)/x > (e^x)/x² (on justifiera toutes les étapes des inégalités)
b)En déduire la limite de (e^x)/x² quand x tend vers +inf.
Exercice 3:
Etudier la limite de f(x) quand x tend vers a pour chacune des fonctions suivantes:
.f(x)=1/(x+sinx) a=+inf
.f(x)=xcosx-x² a=-inf
(On justifiera toutes les étapes des inégalités)
Exercice 4:
On considère la fonction définie sur R par g(x)= ((racine carré de x²+1) - 1) / x , x différent de 0 et g(0) = 0. g est-elle continue en 0?
Voici mes réponses:
Exercice 1:
1)f(x)= (20x+10)e^((-1/2)x)
lim quand x tend vers +inf de 20x+10 = +inf
lim quand x tend vers +inf de e^((-1/2)x) = 0
Par produit, lim quand x tend vers +inf de f(x)= 0
2)f(x) est une fonction dérivable sur R comme produit de deux fonctions dérivables sur R.
f '(x)= 20e^((-1/2)x) + (20x+1)-1/2e^((-1/2)x)
f '(x)= e^((-1/2)x) x (20-10x-1/2)
f est décroissante sur [0;39/20[ de 10 à b (environ égal à 18.5)
f est croissante sur [39/20;+inf[ de b à 0.
3)f(x) = 10
Sur [39/20;+inf[ f est continue et strictement croissante. 0 appartient à [b;0[ donc l'équation f(x) = 10 admet une solution unique a appartenant à [39/20;+inf[
4.673<a<4.674
Exercice 2:
a) (je ne sais pas trop comment justifier les inégalités)
(N.B > signifie supérieur ou égal)
e^x > (e^x) / x
(e^x) / x > (e^x) / x² On divise par x
b) (e^x)/x > (e^x)/x²
lim quand x tend vers +inf de (e^x)/x = +inf donc par minoration lim quand x tend vers +inf de (e^x)/x² = +inf.
Exercice 3:
(N.B < ou > signie inférieur/supérieur ou égal)
f(x) = 1/(x+sinx)
-1<sinx<1
-1+x<x+sinx<1+x On ajoute x.
1/(-1+x)<1/(x+sinx)<1/(1+x) On inverse donc on change le signe.
1/(1+x) < 1/(x+sinx)
lim quand x tend vers +inf 1/(1+x)=0
donc par minoration lim quand x tend vers +inf de f(x) = 0
f(x)=xcosx-x²
-1<cosx<1
-x>xcosx>x On change le signe car x < 0
-x-x²>xcosx-x²>x-x²
-x-x²>xcosx-x²
-x-x²= -x(1+x²)
lim quand x tend vers -inf de -x(1+x²) = -inf
donc par majoration lim quand x tend vers -inf de f(x) = -inf.
Exercice 4:
Je ne sais pas comment faire
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s'il vous plaît
tend vers 0 en l'infini car x croit plus vite de la racine (à l'infini!!).