Combinaison "irrégulière"?

[invite45e586d1]

Bonsoir,

Hier, j'avais posé un problème de combinaison qui me semblait régulier et la soluce l'était effectivement (Cf topic Calcul combinaison)




Cette fois, il me semble que la solution est plus bizarre.

Si on part d'un groupe d'environ 60 personnes (chiffre exact à déterminer au plus proche selon les difficultés qui surgiront)

Combien peut-on organiser de réunions de 3 personnes qui ne se verront qu'une seule fois? (Jamais une personne ne rencontrera quelqu'un plus d'une fois)

Lorsque je fais quelques recherches "à la main" sur une base de 4, 5 ou 7 personnes, je découvre qu'il y a des personnes orphelines alors que d'autres participent à plusieurs réunions.
Ca me semble bizarre et irrégulier.

Quelqu'un voit-il clairement la difficulté et la formule (ainsi que le nombre exact qu'il faudrait choisir aux environs de 60 pour ne pas laisser des orphelins sur le carreau)?
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[invite45e586d1]

Après réflexion, je repose le problème différemment et je propose ma solution


On envisage d'organiser des rencontres par triplets (par groupes de 3 personnes) et cela en partant d'une masse d'environ 60 personnes

Chaque personne pourra bien entendu participer (avec succession chronologique forcément) à autant de rencontres qu'elle voudra mais à condition d'avoir à chaque fois en face d'elle 2 nouveaux visages.


Combien de triplets peuvent avoir lieu au même moment?
Réponse 60:3 = 20
Jusque là ça va. Mais déjà, on devine que si le nombre de 60 avait été différent, il y aurait eu une ou deux personnes condamnées à faire tapisserie

A combien de rencontres, chaque participant peut-il participer?

Il me semble que c'est simple: Il a 59 personnes devant lui, à rencontrer par groupe de 2, entièrement nouveaux. Ca fait donc 29 rencontres et il restera une personne qu'il ne pourra pas rencontrer.

Comme cela vaut pour chacun des 60 participants, on peut en déduire qu'il y aura 60 x 29 soit 1740 rencontres (avec à chaque fois des gens qui devront faire tapisserie)

En fait, étant donné que 60 se divise bien par 3, personne ne fera concrètement tapisserie mais il y aura bien pour chaque participant, une soixantième personne qu'elle ne pourra jamais rencontrer.

Est-ce que je me trompe.

Comment éviter ce trou?

[invite45e586d1]

Lorsque je fais la recherche "à la main" en partant d'un ensemble de 9 personnes, je trouve 12 réunions triplets

123 456 789
147 158 169
248 259 267
349 357 368

Bien entendu, j'ai choisi de faire se rencontrer 2 et 3 en même temps que 1 . Alors que j'aurais pu commencer à regrouper 139
Mais ce qui compte, dans mon problème réel (qui se pose dans ma vraie vie) c'est que, tôt ou tard, d'une manière ou d'une autre, quelle que soit la combinaison, chacun puisse rencontrer tous les autres et cela une seule fois.

D'autre part, même lorsque vous m'aurez aidé à trouver la formule magique donnant le nombre de triplets à réaliser pour un ensemble de 60 personnes, j'aurais encore le gros travail consistant à écrire une à une les centaines de triplets en veillant à ce que chacun rencontre tous les autres mais jamais deux fois. Car j'ai l'impression qu'aucun ordi ne saura le faire à ma place.

[invite45e586d1]

Il me semble que la solution serait la suivante:

Combien chaque participant doit-il rencontrer de nouveaux binômes ? 59:2 = 29 (Il y aura une personne qu'il ne pourra pas rencontrer)
Or chacun des 60 participants a besoin de 29 rencontres de binômes pour finir par rencontrer tout le monde (à une personne près)
A priori ça ferait donc 60 x 29 soit 1740 rencontres
Or chaque fois qu'une personne résout ses besoin de rencontrer un binôme, les deux personnes constituant ce binôme résolvent également un de leurs 29 besoins
Le nombre de rencontres à prévoir est donc de 1740:3 soit 580

Cela vous semble-t-il correct?

[A voir en vidéo sur Futura]