DM étude de fonction

[invite7f2916f1]

Bonjour , je suis en train de taffer sur un DM et je bloque sur une question:

Voici la fonction f(x)=arctan(x)+exp(x)-1
J'ai montré que f induisait une bijection de R sur -pi/2,+infini

g est la réciproque de f sur l'intervalle précendent
Il faut que je montre par récurrence que g est de classe C infini sur R .

Voila je bloque sur la récurrence , je ne sais vraiment sur quoi la faire :s .
Je peux montrer assez facilement que g est dérivable , mais après je sais pas comment faire ma récurrence , a priori je connais pas grand chose sur la dérivées énieme de g.

En particulier est-ce qu'il y a un lien entre la dérivée énième de f (qui est de classe C infini) et la dérivée énième de g?
Est-ce que je dois faire ma récurrence sur f ou g?

Merci beaucoup pour votre aide , c'est assez urgent.

PS: je suis en bcpst 2 ème année , mais vu le type d'exo (révisions) ça s'apparente plus aux maths du secondaire que ce que j'ai vu dans "mathématiques du supérieur " .
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[invite57a1e779]

Tu commences par prouver que est dérivable avec .
La récurrence se fait sur l'ordre de dérivabilité comme cela :
si est de classe , alors la formule précédente prouve que est de classe donc est de classe .

Si tu essaies de calculer les dérivées successives de , tu es perdu, les calculs sont inextricables.

[invite7f2916f1]

Merci beaucoup!
C'était vraiment tout bête , je me doutais bien qu'il fallait utiliser cete formule et faire la récurrence en "g de classe Cn" , mais je m'embrouillais moi même .