Méthode d'Euler Tle S

[invite5b3844b0]

Salut !
J'ai un DM de math et je bloque un peu dessus, pourriez vous m'aider svp ?

Voici l'énoncé :

Un ballon stratosphérique est constitué d'une enveloppe gonflée d'un certain volume d'hélium, d'une nacelle et de divers capteurs et instruments permettant de transmettre au sol les mesures effectuées. L'ensemble a pour masse m.
On se place dans un référentiel terrestre où l'on considère un axe (Oz) vertical, orienté vers le haut. L'origine O représente la position du bas à la nacelle à l'instant t=0, instant auquel on lâche le ballon sans vitesse initiale.
Le temps t est exprimé en secondes et les distances en mètres.
On nomme vz(t) la composante de la vitesse sur l'axe (Oz) c'est à dire la vitesse ascentionnelle du ballon à l'instant t (t>= 0)

Modélisation
En faisant différentes hypothèses, on peut modéliser la force de frottement Fr de l'air sur l'enveloppe Fr = kv² où k est un coefficient qui dépend du ballon.
Le bilan des forces projeté sur l'axe (Oz) permet d'obtenir la relation :
=-vz² + (
où V désigne le volume de l'enveloppe, supposée sphérique de rayon r, et ρ0 la masse volumique de l'air.
On prendra pour l'application numérique :
g0≈9,81m.s^-2, ρ0=1,22kg.m^-3, m= 8,00kg, r=1,30m et k=2,91kg.m^-1

1/ Ecrire une équation différentielle dont vz est solution

Perso je pensait à Fr = vz²

2/ on utilise maintenant la méthode d'Euler avec un pas de 0,25s
a. Montrer que l'approximation affine de vz à l'instant t est :

vz(t+△t)≈ vz(t) + (-k/m vz²+ (ρ0V/m -1)g0)△t

b/ On appelle vn la vitesse à l'instant t= n*0,25 secondes

Montrer que vn+1 ≈ vn - 0,091vn² + 0,99

c/ Représenter par une courbe approchée l'évolution de la vitesse vz en fonction du temps pour 0≤t≤3

d/ Estimer une valeur approchée de la "vitesse limite" du ballon


Bon alors moi je pensait qu'à partir de ce qu'on nous disait à la question 2a on pourrait déduire l'équation différentielle mais je suis pas sure !

On sait que f(a+h) = f'(a)*h+f(a)

f(a) c'est vz(t)
f'(a) c'est (-k/m vz²+ (ρ0V/m -1)g0)
et h c'est △t

(-k/m vz²+ (ρ0V/m -1)g0) = k*vz

Vous pourriez m'aider à faire cet exo svp ? Sans la question 1 je ne vois pas comment faire le reste...
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[invitea3eb043e]

Fr = vz² n'est pas une équation différentielle qui fait intervenir des dérivées comme son nom l'indique. Cette équation est celle qu'on te donne juste au-dessus.

[invite5b3844b0]

ok, mais comment la trouver alors ? :/

[invite5b3844b0]

aidez moi svppp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite5b3844b0]

dvz/dt+(k/m)vz² = [(poV/m)-1]go

[invitea3eb043e]

On te la donne ou il faut que tu la trouves, cette équation écrite juste au-dessus ?
Les forces, quelles sont-elles et dans quel sens ? Ensuite la force résultante F vaut m. dvz/dt

[invite5b3844b0]

On te la donne ou il faut que tu la trouves, cette équation écrite juste au-dessus ?
Les forces, quelles sont-elles et dans quel sens ? Ensuite la force résultante F vaut m. dvz/dt

Je doit écrire une équation dont vz est solution... après on me donne ce que j'ai écrit au dessus (ou presque, y'a juste le -k/m vz² qui est passé de l'autre coté)

Puisque F vaut m. dvz/dt

on a m*dvz/dt = kvz² ... ???

[invite5b3844b0]

bon sang mais pkoi psne ne veut m'aider ? !!!