DM sur les fonctions.

[invitef4ce017a]

J'aurai besoin d'aide pour cet exercice que je ne comprends pas entièrement :

1) Montrer que :
pour tout a appartenant à R (ensemble des réels), pour tout b appartenant à R,
a(3) – b(3) = (a-b)(a(2) + ab + b(2))
En italique+parenthèses : au cube ou au carré.

J'ai beau factoriser a(3) – b(3) dans tous les sens, je ne trouve pas la même réponse =/ Sauriez-vous m'aider ?

2) Compléter : a(2) + ab + b(2) = (a + b/2)(2) + ...
En italique+parenthèses : au carré.

Ici, j'ai trouvé : a(2) + ab + b(2) = (a + b/2)(2) + ( b - b/2) (b + b/2)
Cela semble-t-il juste ?

3) Démontrer que fa fonction f(x) : x(3) est strictement croissante sur R (ensemble des réels), c'est la fonction cube.
On utilisera les questions 1 et 2 pour la démonstration.

Je ne vois pas comment faire


Merci d'avance pour votre aide
-----

[invite09c180f9]

Bonjour,

1) Montrer que :
pour tout a appartenant à R (ensemble des réels), pour tout b appartenant à R,
a(3) – b(3) = (a-b)(a(2) + ab + b(2))
En italique+parenthèses : au cube ou au carré.

J'ai beau factoriser a(3) – b(3) dans tous les sens, je ne trouve pas la même réponse =/ Sauriez-vous m'aider ?

développe ton membre de droite et réduit le ; tu verras que tu retombes sur celui de gauche...

2) Compléter : a(2) + ab + b(2) = (a + b/2)(2) + ...
En italique+parenthèses : au carré.

Ici, j'ai trouvé : a(2) + ab + b(2) = (a + b/2)(2) + ( b - b/2) (b + b/2)
Cela semble-t-il juste ?

Développe l'identité remarquable dans ton membre de droite et regarde ce qu'il te manque pour retrouver le membre de gauche.
Tu n'as plus qu'à ajouter ce "déficit"...

3) Démontrer que fa fonction f(x) : x(3) est strictement croissante sur R (ensemble des réels), c'est la fonction cube.
On utilisera les questions 1 et 2 pour la démonstration.

Si ta fonction est strictement croissante sur R, que me dirais tu sur le signe de la différence f(x+1) - f(x) (quelque soit x sur R bien entendu) ... ?

[invitef4ce017a]

Merci infiniment de ton aide physastro,

j'pense avoir trouvé les deux premières questions.

Cependant, pour la troisième, je ne comprends pas bien =(

Si ta fonction est strictement croissante sur R, que me dirais tu sur le signe de la différence f(x+1) - f(x) (quelque soit x sur R bien entendu) ... ?

Si la fonction f(x) est croissante, alors f(x+1) - f(x) est supérieur à 0. En quoi cela nous démontre que la fonction est croissante?

Et je ne vois pas le rapport avec les deux questions précédentes que je suis censée réutilisée.

[invite09c180f9]

Si la fonction f(x) est croissante, alors f(x+1) - f(x) est supérieur à 0. En quoi cela nous démontre que la fonction est croissante?

En effet, si le résultat est positif quelque soit x, alors ta fonction sera croissante.
Si tu ne le vois pas bien prend toi un exemple, par exemple la fonction affine f(x)=2x+3. Trace la vite fait sur un graphe et regarde f(x+1)-f(x)...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4ce017a]

D'accord, merci, j'ai compris ^^

Mais est-ce que cette simple phrase suffit pour la démonstration ?

[invitef4ce017a]

Et s'il faut utiliser les deux questions résolues précédemment ?

[invite09c180f9]

Bonjour,
ne vois tu vraiment pas le lien avec les questions précédentes...?
Je pense que tu ne cherches pas trop à réfléchir quand même !!
Regarde ta fonction et regarde tes premières questions. Tu ne vois toujours pas le lien entre ces puissances cubiques...?

[invitef4ce017a]

On a :

a³ - b³ = (a - b) [ ( a + b/2)² + ( b - b/2) ( b + b/2) ]

Le membre de gauche est une puissance cubique ( a - b )³ égale à (a-b) (a-b) (a-b) ce qui voudrait dire que
( a + b/2)² + ( b - b/2) ( b + b/2) = (a - b)²

...

Mais vraiment, je cherche, je suis désolée mais je ne vois pas le rapport avec la fonction cube =/