Terminale S : Trouver une fonction

[invitef1a62b17]

Bonjour à toutes et à tous !!

J'ai un problème de maths, voici l'énoncé (en bref) :

F est une fonction définie et dérivable sur telle que F'(x) = 1/(1+x²).

On admet que cette fonction existe et on ne cherchera pas à donner une expression de F(x). est la courbe représentative de F dans un repère orthonormal.

...

On en déduit que F est impaire ...

Là ça se complique :

H est la fonction définie sur I=]0 ; + infini[ par :

H(x) = F(x) + F(1/x)

Justifier que H dérivable sur I et calculer H'(x) pour tout réel x de I.
J'ai trouvé H'(x) = 1, est-ce exact ?

Puis démontrez que pour tout x de I, H(x)= 2F(1)
Là, je vois pas du tout ...

En déduire que lim de F en + infini = 2F(1)
Problème ici aussi ...

Qu'en déduire pour la courbe ?
Je suppose qu'elle est croissante sur car elle est impaire, mais il se peut qu'elle ne soit pas monotone, et donc je ne vois pas comment le démontrer sans démontrer que H(x) = 2F(1) ...

On nous donne ensuite la fonction définie sur ]-pi/2 ; pi/2[ par :
T(x) = F(tan x) - x
Calculer T'(x).
T n'est-elle pas une fonction composée ?
Qu'en déduire de la fonction T ?
Peut-être qu'elle est composée ... sans conviction

Calculer F(1)
Je vois pas comment faire sans les réponses aux questions précédentes.

Ensuite, faire le tableau de variations de F sur .
Je ne peux pas faire sans les réponses qui me manquent, pareil pour tracer la courbe.

Voilà, donc j'ai beaucoup de problèmes dans cet exercice, m'empêchant de répondre aux dernières questions, à savoir le tableau de variations et le tracé de la courbe ...

Un peu d'aide, une piste ou quoi que ce soit me permettant de progresser de votre part m'aiderait
Merci de m'avoir lu
Au revoir
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[invite57a1e779]

est une fonction définie et dérivable sur telle que F'(x) = 1/(1+x²).

H est la fonction définie sur I=]0 ; + infini[ par :

H(x) = F(x) + F(1/x)

Justifier que H dérivable sur I et calculer H'(x) pour tout réel x de I.
J'ai trouvé H'(x) = 1, est-ce exact ?

Non, ce n'est pas exact. Tu as dû faire une erreur de calcul...

[invite0022ecae]

H'(x)=0 donc il existe k tel que H(x)=k pour tout x de I
donc H(1)=k et on a aussi H(1)=F(1)+F(1/1)=2F(1)
donc k=2F(1) et finalement H(x)=2F(1)

[invitef1a62b17]

Pourtant, avec H'(x) = F'(x) + F'(1/x) (déjà, est-ce la bonne relation ?), on trouve :

(1/1+x²)+(1/(1+(1/x²)))
= (1/x²) + (1/(x²/x²+(1/x²)))
= (1/x²) + 1/(x²+1)/x²
=(1/x²) + x²/x²+1
=x²+1/1+x²
Cela s'annule, on trouve donc 1.
Où est l'erreur ?

P.S : comment trouves-tu H'(x)=0 afolab ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0022ecae]

Eh non dérivée d'une fonction composée: la dérivée de F(1/x) est (-1/x^2)F'(1/x)

[invitef1a62b17]

ah oui, c'est vrai, mais où avais-je la tête ?
Donc, en reprenant, les calculs, on a :

H'(x)= F'(x) - 1/x²(F'(1/x))
= 1/1+x² - 1 / x² * 1/1+1/x²
= 1/1+x² - 1/x²+1
=0

C'est donc bien ça, il n'y a pas d'erreurs, cette fois. N'est-ce pas ?

[invite0022ecae]

OK çà roule. Je dois partir, quelqu'un d'autre va prendre le relais. Bon courage.

[invitef1a62b17]

Bon, ça y est, j'ai démontrer que lim H en + infini et en - infini = 2F(1)
Mais qu'en déduire de la courbe ?

Car on sait que 2 F(1) est une constante, et que F est impaire.
Aurais-je ommis quelque chose ?

P.S : merci afolab et God's Breath aussi

[invitef1a62b17]

Plus personne pour m'aider ?

J'aurais bien une proposition pour "Que peut-on en déduire pour la courbe ?"
Car comme la limite en + infini et en - infini est 2F(1), admet une asymptote horizontale d'équation (D) : y= 2F(1)

Est-ce exact ? Ou s'attend-on à une autre réponse ?

[invitef1a62b17]

Ah, non, car c'est la courbe de H qui a une asymptote, du coup, je vois pas ce qu'on peut en déduire pour la courbe de

[invitef1a62b17]

En attente d'un éclair de génie, j'ai commencé la troisième partie, avec la fonction T, mais après avoir calculé T'(x), je n'arrive à aucune conclusion, si ce n'est que T est une fonction composée

Comment faire pour calculer F(1) ? Faut-il s'aider de la réponse à la question nous demandant de conclure sur la fonction T ?

[invitef1a62b17]

Bon, après approfondissement de mes calculs, j'ai trouvé T'(x) = -1/1+tan²x
Mais je ne vois pas ce qu'on peut en déduire de la foncion T, et encore moins comment à partir de là, on peut calculer F(1), auriez-vous une idée ?