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Etude de fonctions auxiliaire[TS]



  1. #1
    chico95

    Etude de fonctions auxiliaire[TS]


    ------

    Voila, j'ai un petit DM a faire pour vendredi, et je suis un peu coincé !

    f(x)=(1-x)/(x^3+1)

    1) Calculer f '(x) pour tout réel x dans ]-1;+oo[ et vérifier que f ' (x) a le même signe que 2x^3-3x²-1

    2) On note g la fonction définie sur ]-1;+oo[ par g(x)=2x^3-3x²-1

    a) Etudiez les variations de g
    b) Prouvez que g(x)=0 admet une seule solution a sur ]-1;+oo[, et que a appartient a [1.6;1.7]
    c) deduisez-en, suivant les valeurs de x, le signe de g(x)

    3) En utilisant les resultats precedents, dressez le tableau de variations de f

    4) ecrivez une equation de la tangente T à C au point A d'abscisse 0. Etudiez la position relative de la courbe C et de la droite T pour x élément dans ]-1;1]

    5) Prouvez que C est située au-dessus de sa tangente d au point d'abscisse 1

    6) Tracez C,T, d

    Merci d'avance pour votre aide !

    EDIT : voila ce que j'ai fais !

    1) f ' (x) = 2x^3-3x²-1/(x^3+1)²
    (x^3+1)² étant toujours positif, f(x) dépend seulement du signe de 2x^3-3x²-1

    2) a)g ' (x)=6x²-6x
    j'ai fais un tableau et tout sa pour les variations...
    b) j'ai fait avec la calculette...
    c) j'ai trouvé g est negatif sur ]-1;a] et positif sur [a;+oo[, et c'est ici que je suis coincé !
    Je sais pas si c'est exact ce que j'ai mis !

    -----
    Dernière modification par chico95 ; 04/11/2008 à 20h45.

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Salut,
    Citation Envoyé par chico95 Voir le message
    1) f ' (x) = 2x^3-3x²-1/(x^3+1)²
    D'accord.
    (x^3+1)² étant toujours positif, f(x) dépend seulement du signe de 2x^3-3x²-1
    C'est le signe de qui ne dépend que du signe de .

    2) a)g ' (x)=6x²-6x
    j'ai fais un tableau et tout sa pour les variations...
    Oui...
    b) j'ai fait avec la calculette...
    La calculatrice ne permet pas de prouver que « admet une seule solution sur »
    c) j'ai trouvé g est negatif sur ]-1;a] et positif sur [a;+oo[, et c'est ici que je suis coincé !
    Et pourquoi bloques-tu ? On connait le signe de donc on connait aussi celui de et l'on peut tracer le tableau de variation de ...

  4. #3
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Alors pour prouver qu'il admet une solution c'est : la fonction g est continue et strictement croissante , de plus, l'image de l'intervalle ]-1;+oo[ est ]-2;+oo[, et 0 appartient a cet intervalle, donc il existe un unique réel a tel que g(x)=0

    Donc pour f, c'est pareil que pour f', ça j'ai compris...

    Mais pour la question d'après, y(T) = f '(a)(x-a)+f(a), donc si la tangente est au point d'abscisse 0, sa donne y ) f ' -af ' (x)+f(a) !? en remplaçant x par 0

    La j'ai un doute, on remplace x par 0, ou a par 0 !?

    Et ensuite pour la position relative, on fait :

    f - T pour tout x dans ]-1;1] et on etudie le signe !?

  5. #4
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    un petit up ne fera pas de mal !

    Merci !!

  6. #5
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Citation Envoyé par chico95 Voir le message
    Alors pour prouver qu'il admet une solution c'est : la fonction g est [...] strictement croissante ,
    Ah ? Pourtant sa dérivée change de signe en et en !
    Mais pour la question d'après, y(T) = f '(a)(x-a)+f(a), donc si la tangente est au point d'abscisse 0, sa donne y ) f ' -af ' (x)+f(a) !? en remplaçant x par 0

    La j'ai un doute, on remplace x par 0, ou a par 0 !?
    est l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
    f - T pour tout x dans ]-1;1] et on etudie le signe !?
    Oui, c'est ça : on étudie le signe de .

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Donc si j'ai bien compris, on remplace le a par 0 dans l'equation de la tangente !

    Et pour trouvez d alors c'est la meme question avec a=1

    donc si j'ai compris : y(T)=f '(0)x+f(0)
    et : y(d)= f '(1)x+f(1) !

    Merci de tes reponses !

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  10. #7
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Citation Envoyé par chico95 Voir le message
    Donc si j'ai bien compris, on remplace le a par 0 dans l'equation de la tangente !

    Et pour trouvez d alors c'est la meme question avec a=1
    Oui.
    donc si j'ai compris : y(T)=f '(0)x+f(0)
    Oui.
    et : y(d)= f '(1)x+f(1) !
    Non, c'est .

  11. #8
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    a oui exact...ba Merci beaucoup pour tes réponses !

    Et puis si tu as une petite astuc epour tracer les tangentes je suis preneur, mais sinon merci !!!

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Citation Envoyé par chico95 Voir le message
    Et puis si tu as une petite astuc epour tracer les tangentes je suis preneur
    Comment ça, une astuce ? Pour tracer une tangente il suffit de connaître deux points par lesquels elle passe. Par exemple, pour la tangente d'équation , on sait qu'elle passe par et par . Il n'y a plus qu'à tracer la droite passant par ces deux points...

  13. #10
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    a ok merci, mais comment tu trouve qu'elle passe par (0, f(1)-f '(1)) !?

  14. #11
    Flyingsquirrel

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    Citation Envoyé par chico95 Voir le message
    a ok merci, mais comment tu trouve qu'elle passe par (0, f(1)-f '(1)) !?
    Je choisis l'abscisse (n'importe quel autre nombre aurait fait l'affaire) et l'équation de la droite me donne l'ordonnée correspondante : .

  15. #12
    chico95

    Re : Etude de fonctions auxiliaire[TS]

    okay, merci beaucoup !

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