Etude de fonctions auxiliaire[TS]

[invitea3235c1e]

Voila, j'ai un petit DM a faire pour vendredi, et je suis un peu coincé !

f(x)=(1-x)/(x^3+1)

1) Calculer f '(x) pour tout réel x dans ]-1;+oo[ et vérifier que f ' (x) a le même signe que 2x^3-3x²-1

2) On note g la fonction définie sur ]-1;+oo[ par g(x)=2x^3-3x²-1

a) Etudiez les variations de g
b) Prouvez que g(x)=0 admet une seule solution a sur ]-1;+oo[, et que a appartient a [1.6;1.7]
c) deduisez-en, suivant les valeurs de x, le signe de g(x)

3) En utilisant les resultats precedents, dressez le tableau de variations de f

4) ecrivez une equation de la tangente T à C au point A d'abscisse 0. Etudiez la position relative de la courbe C et de la droite T pour x élément dans ]-1;1]

5) Prouvez que C est située au-dessus de sa tangente d au point d'abscisse 1

6) Tracez C,T, d

Merci d'avance pour votre aide !

EDIT : voila ce que j'ai fais !

1) f ' (x) = 2x^3-3x²-1/(x^3+1)²
(x^3+1)² étant toujours positif, f(x) dépend seulement du signe de 2x^3-3x²-1

2) a)g ' (x)=6x²-6x
j'ai fais un tableau et tout sa pour les variations...
b) j'ai fait avec la calculette...
c) j'ai trouvé g est negatif sur ]-1;a] et positif sur [a;+oo[, et c'est ici que je suis coincé !
Je sais pas si c'est exact ce que j'ai mis !
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[Flyingsquirrel]

Salut,

1) f ' (x) = 2x^3-3x²-1/(x^3+1)²

D'accord.

(x^3+1)² étant toujours positif, f(x) dépend seulement du signe de 2x^3-3x²-1

C'est le signe de qui ne dépend que du signe de .

2) a)g ' (x)=6x²-6x
j'ai fais un tableau et tout sa pour les variations...

Oui...

b) j'ai fait avec la calculette...

La calculatrice ne permet pas de prouver que « admet une seule solution sur »

c) j'ai trouvé g est negatif sur ]-1;a] et positif sur [a;+oo[, et c'est ici que je suis coincé !

Et pourquoi bloques-tu ? On connait le signe de donc on connait aussi celui de et l'on peut tracer le tableau de variation de ...

[invitea3235c1e]

Alors pour prouver qu'il admet une solution c'est : la fonction g est continue et strictement croissante , de plus, l'image de l'intervalle ]-1;+oo[ est ]-2;+oo[, et 0 appartient a cet intervalle, donc il existe un unique réel a tel que g(x)=0

Donc pour f, c'est pareil que pour f', ça j'ai compris...

Mais pour la question d'après, y(T) = f '(a)(x-a)+f(a), donc si la tangente est au point d'abscisse 0, sa donne y ) f ' -af ' (x)+f(a) !? en remplaçant x par 0

La j'ai un doute, on remplace x par 0, ou a par 0 !?

Et ensuite pour la position relative, on fait :

f - T pour tout x dans ]-1;1] et on etudie le signe !?

[invitea3235c1e]

un petit up ne fera pas de mal !

Merci !!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Alors pour prouver qu'il admet une solution c'est : la fonction g est [...] strictement croissante ,

Ah ? Pourtant sa dérivée change de signe en et en !

Mais pour la question d'après, y(T) = f '(a)(x-a)+f(a), donc si la tangente est au point d'abscisse 0, sa donne y ) f ' -af ' (x)+f(a) !? en remplaçant x par 0

La j'ai un doute, on remplace x par 0, ou a par 0 !?

est l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .

f - T pour tout x dans ]-1;1] et on etudie le signe !?

Oui, c'est ça : on étudie le signe de .

[invitea3235c1e]

Donc si j'ai bien compris, on remplace le a par 0 dans l'equation de la tangente !

Et pour trouvez d alors c'est la meme question avec a=1

donc si j'ai compris : y(T)=f '(0)x+f(0)
et : y(d)= f '(1)x+f(1) !

Merci de tes reponses !

[Flyingsquirrel]

Donc si j'ai bien compris, on remplace le a par 0 dans l'equation de la tangente !

Et pour trouvez d alors c'est la meme question avec a=1

Oui.

donc si j'ai compris : y(T)=f '(0)x+f(0)

Oui.

et : y(d)= f '(1)x+f(1) !

Non, c'est .

[invitea3235c1e]

a oui exact...ba Merci beaucoup pour tes réponses !

Et puis si tu as une petite astuc epour tracer les tangentes je suis preneur, mais sinon merci !!!

[Flyingsquirrel]

Et puis si tu as une petite astuc epour tracer les tangentes je suis preneur

Comment ça, une astuce ? Pour tracer une tangente il suffit de connaître deux points par lesquels elle passe. Par exemple, pour la tangente d'équation , on sait qu'elle passe par et par . Il n'y a plus qu'à tracer la droite passant par ces deux points...

[invitea3235c1e]

a ok merci, mais comment tu trouve qu'elle passe par (0, f(1)-f '(1)) !?

[Flyingsquirrel]

a ok merci, mais comment tu trouve qu'elle passe par (0, f(1)-f '(1)) !?

Je choisis l'abscisse (n'importe quel autre nombre aurait fait l'affaire) et l'équation de la droite me donne l'ordonnée correspondante : .

[invitea3235c1e]

okay, merci beaucoup !