Utilisation des dérivées successives...

[invite5745bd35]

Bonjour,

J'ai quelques petites difficultés avec mon DM de TS...
mais peut-être pourrez-vous m'aider.

Ennoncé:

Soit f la fonction définie par f(x)=sin(x)-x+((x^3)/6) sur I=[0;+infini[

a) calculer les dérivées d'ordre 1 ; 2 et 3 de f sur I
b) déterminer les variations de f sur I puis son signe
c) démontrer que, pour tout x dans I, 0<x-sinx<(x^3)/6 (ce sont des signes inérieurs ou égales)
d)en déduire que la fonction F définie sur [0;pi] par F(x)=(sinx)/x si
0<x<pi et F(x)=1 si x=0 , est dérivable en 0 et donner son nombre dérivé en 0.


J'ai tout fait sauf la question d) sur laquelle je bloque vraiment
A L'AIDE!!
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Comment faire pour démontrer qu'une fonction est dérivable en un point isolé ?

[invite890931c6]

Bonjour,

Comment faire pour démontrer qu'une fonction est dérivable en un point isolé ?

Reviens à la définition du nombre dérivé.

[invite5745bd35]

J'ai fais le taux de variation en 0 mais je n'arrive pas à sortir de la forme indéterminée...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

J'ai fais le taux de variation en 0 mais je n'arrive pas à sortir de la forme indéterminée...

Peux-tu écrire ici le taux de variation en 0 ? En latex Regarder ici si besoin.

[invite5745bd35]

taux de variation :

(F(x)-F(0))/x = ((sinx/x)-1)/x = (sinx-x) / x^2

Après je suis bloqué!

[Arkangelsk]

taux de variation :

(F(x)-F(0))/x = ((sinx/x)-1)/x = (sinx-x) / x^2

Après je suis bloqué!

As-tu pensé à utiliser l'encadrement que tu as démontré précédemment ?

[invite5745bd35]

Oui, mais je ne vois pas en quoi l'encadrement peut m'aider à me sortir de cette forme indéterminée !!

[Arkangelsk]

Pourquoi ne pas diviser les différents membres par ?

[invite5745bd35]

ça me donne 0< (x-sinx)/x^2 < x/6

mais je vois toujours pas ce que je peux faire avec ça... ( je suis peut-être aveugle !?)

[Arkangelsk]

C'est bien la limite quand tend vers de l'expression du milieu que tu cherches, non ? Que peut-on dire des limites des expressions de droite et de gauche ?

[invite890931c6]

ça me donne 0< (x-sinx)/x^2 < x/6

mais je vois toujours pas ce que je peux faire avec ça... ( je suis peut-être aveugle !?)

que peux tu dire de ?

[invite5745bd35]

Ah!! c'est le théorème des gendarmes c'est ça?
à gauche ça tend vers 0 et à droite aussi donc au milieu aussi
Donc la limite du taux de variation de F en 0 est égale à 0 ,
donc 0 est le nombre dérivé de F en 0 !! (c'est bien ça?)

[Arkangelsk]

Ah!! c'est le théorème des gendarmes c'est ça?
à gauche ça tend vers 0 et à droite aussi donc au milieu aussi
Donc la limite du taux de variation de F en 0 est égale à 0 ,
donc 0 est le nombre dérivé de F en 0 !! (c'est bien ça?)

Hum... c'est ça. J'ai réussi à te faire trouver rien qu'en te posant des questions, n'est-ce-pas ?