Problème de maths avec équation cartésienne d'un cercle

[invitee5a9ca61]

Salut tous le monde,
Voici mon problème j'ai un exo de maths pour demain (pas de DM, juste un exos), et je pige pas trop la question 4.

Voila le sujet

A (3;1) B (1;2) C (2;-1) D (-4;2)
dans un plan O I J

1)Démontrer que (AB)//(CD) ==> j'ai compris

2) Montrer que O appartient à (CD) ==< compris aussi

3)Déterminer l'équation cartésienne du cercle (Lambda), de centre A passant par B. Montrer que C appartient à (Lambda).

(Equation cartésienne du cercle = (x-3)²+(y-1)²=5)

4)Soit M (x;y). Déterminer BM et CM.

5) En déduire l'équation de la droite (d), médiatrice de [BC]. Montrer que A appartient à (d)

Enfaite j'ai trouvé l'équation cartésienne du cercle mais c'est appartir de là que je bloque, donc si vous pouviez me donner des indices, afin que je comprenne.
Merci d'avance.
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[NicoEnac]

Bonjour,

On te demande de déterminer l'expression des distances BM et CM en fonction de x et y. Comment calcules-tu une distance entre deux points à partir de leurs coordonnées ?

[invitee5a9ca61]

bah avec la relation
||AB|| = Racine de (Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²

[NicoEnac]

Donc BM = ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee5a9ca61]

Racine de (Xm-Xb)²+(Ym-Yb)²
nn?

[NicoEnac]

Et ben voilà ! Il suffit de remplacer les valeurs de et par leurs valeurs et faire de même avec CM.

Concernant la médiatrice, as-tu une idée ?

[invitee5a9ca61]

mais on obtiens juste un chiffre, je pensais qu'il fallait trouver des coordonnées.

Sinon pour la médiatrice, je pense que comme ABC est un triangle, alors forcement la droite (d) passe par A car d'apres la définition d'une médiatrice ... , mais pour l'équation de la droite je sais que c'est une droite afine, graphiquement je trouve quelle passe par O, et apres avec la formule;
Delta y / delta x je trouve 1/3, donc d(x)=1/3x+0
après je suis pas sur

[invitee5a9ca61]

mais si on remplace les valeurs de Xb et Yb jusqu'a là ok, mais pour les valeurs de Xm et Ym?

[NicoEnac]

M est un point quelconque. Cela veut dire que si plus loin on te demande la distance CD, tu as juste à remplacer Xm et Ym par les valeurs Xd et Yd !

C'est une formule générale, valable pour n'importe quel point M du plan. On ne demande pas de remplacer Xm et Ym mais d'exprimer la distance de B à un point quelconque en fonction des coordonnées de ce point.

Donc tu obtiens

[invitee5a9ca61]

ok, donc pareil pour CM, et sinon mon explication pour la question 5 te parait bonne ou pas du tout, car il demande de déduire, alors que j'ai fait par résolution graphique.

[NicoEnac]

d'apres la définition d'une médiatrice

Ne confonds pas médiane d'un triangle et médiatrice !

Médiane = droite passant par le milieu d'un côté et son sommet opposé (exemple par le milieu de [BC] et par A)

Médiatrice = droite des points à égale distance des extrémités du segment (exemple : tous les points à égale distance de B et C).

De plus, on vient de te faire calculer les distances d'un point M à B et à C, cela devrait te guider

[NicoEnac]

Tu t'en sors ? (pas de nouvelle depuis 12 minutes )

[invitee5a9ca61]

bah comme on sait que AB et AC sont a la meme distance car AB et AC rayon du cercle A, donc forcement la droite (d) passe par A, car A est le milieu de BC si on trace la médiatrice.

Mais pour l'équation de la droite je pige pas.

[NicoEnac]

bah comme on sait que AB et AC sont a la meme distance car AB et AC rayon du cercle A, donc forcement la droite (d) passe par A, car A est le milieu de BC

Juste !

Pour l'équation de la droite, il s'agit de l'ensemble des points M(Xm,Ym) qui vérifient BM=CM....

[invitee5a9ca61]

donc en faite si je comprend bien il faudrait faire
d(B;M)= d(C;M)
?

[NicoEnac]

Exact ! Et comme tu as déjà exprimé d(B,M) et d(C,M), il te suffit d'utiliser ces expressions et de trouver une équation de droite normalement.

[invitee5a9ca61]

j'obtiens : -2Ym-2Ym=0

[invitee5a9ca61]

nn : -2Xm-2Ym=0

[NicoEnac]

Euh... il n'y a pas de Xm dans ton expression, est-ce normal ?

[invitee5a9ca61]

bah apres developpement de facteur au carré, j'ai rayé ce qui pouvais partir de l'expresion par exemple comme 2x-2x on peut les barrer car ca s'annule

[NicoEnac]

Je ne trouve pas la même chose, refais les calculs et détaille les

[invitee5a9ca61]

Racine de (Xm-1)²+(Ym-2)² = Racine de (Xm-2)²+(Ym+1)² je supprimme les racines
(Xm-1)²+(Ym-2)²-(Xm-2)²-(Ym+1)²=0 j'ai passé l'expreesion de l'autre du =
(X²-2Xm+1)+(Ym²-4Xm+4)-(Xm²-4Xm+4)-(Ym²+2Ym+1)=0 developpement
Xm²-2Xm+1+Ym²-4Ym+4-Xm²+4Xm-4-Ym²-2Ym-1=0
-2Xm-2Ym=0 si on supprime ce qui s'annule

[NicoEnac]

Eh non ! lorsque j'enlève les termes au ² et les constantes il me reste :
-2Xm-4Ym+4Xm-2Ym=0 ce qui ne donne pas le même résultat que toi

[invitee5a9ca61]

ah oui j'ai vu mon erreur oui donc -2Xm-4Ym+4Xm-2Ym=0

mais en additionant si on peut sa revient au meme parce que -2Xm+4Xm = 2Xm
-2Ym-4Ym= -6Ym

Donc 2Xm-6YM=0

[NicoEnac]

D'où Ym = 1/3 Xm voilà l'équation de ta médiatrice !

[invitee5a9ca61]

Ok merci beaucoup parce que sans toi j'aurais grave galéré encore merci.

[NicoEnac]

De rien.

Bonne continuation