Barycentre & vecteurs.

[invitef4ce017a]

J'ai un exo à faire et je bloque. Voilà, je vous donne l'énoncé et les pistes de ce que j'ai commencé à chercher, si des âmes charitables sont prêtes à m'aider

ABC est un triangle, G son centre de gravité, I milieu de [AB] et M le barycentre de (A;2), (B;2) et (C;1).

Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont vraies et justifier.

1/ M barycentre de (G;2) et (I;3).

J'ai commencé à faire : 2 (v)GM = 3 (v) MI.
donc vecteur nul est égal à 3MI + 2 MG.

Je me suis dit qu'il faut que j'arrive à le prouver... mais je développe 2 (v) GM, je ne retombe pas sur 3 (v) MI =/

(v) pour vecteur.

2/ A, M, G sont alignés.

Je pense qu'il faut démontrer que les vecteurs AG et AM sont colinéaires, mais comment y parvenir si on ignore où se trouve M?

3/ Le point d'intersection E des droites (AM) et (BC) est barycentre de (B;2) et (C;1).

Faut-il utiliser la propriété d'associativité des barycentres?
Avec J barycentre de (B; ?) et (C; ?) et F barycentre de (A; ?) et (M; ?)

4/ M milieu de [AE]
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[NicoEnac]

Première question que j'ai à te poser : qu'est ce que le centre de gravité d'un triangle ? Comment peut-on le caractériser en fonction des sommets des triangles ?

[invitef4ce017a]

Le centre de gravité d'un triangle est l'intersection des médianes.

Donc là CG = 2/3 CI.

Et on peut introduire un point E disant que AG = 2/3 AE ?

[NicoEnac]

D'accord. Et le barycentre de (A;1)(B;1)(C;1) ? Est-ce un point que tu connais ? Pour la première question, il faudrait, je pense, utiliser l'associativité du barycentre.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef4ce017a]

Le barycentre de (A;1)(B;1)(C;1), je suppose que c'est G...

Donc G est aussi le barycentre de (I;2) et (C;1) avec I milieu de [AB].

Et... comment on introduit (G;2) et (I; 3) ?

[NicoEnac]

I milieu de [AB] donc I barycentre de (A,1)(B,1) par exemple

G centre de gravité de ABC donc barycentre de (A,1)(B,1)(C,1)

Si on cherche le barycentre de (G,3)(I,2), n'y a-t-il pas moyen de l'exprimer en fonction de A, B et C ?

[invitef4ce017a]

Mon niveau laisse à désirer, je ne trouve pas le fameux moyen...

G barycentre de (I;2) (C;1), c'est tout ce que je vois =/

[NicoEnac]

Voyons voyons du calme ! Pas de défaitisme sur ton niveau ! C'est en cherchant qu'on devient bon !

G barycentre de (A,1)(B,1)(C,1) et I de (A,1)(B,1)
pas associativité on obtient :
Barycentre de : (A,1)(B,1)(C,1)(A,1)(B,1)
Est aussi barycentre de : (G,3)(I,2)

Si on réorganise le barycentre de (A,1)(B,1)(C,1)(A,1)(B,1)
est aussi barycentre de (A,2)(B,2)(C,1)

[invitef4ce017a]

C'est (G,2)(I,3)

Je n'arrive pas à comprendre comment le barycentre de : (A,1)(B,1)(C,1)(A,1)(B,1) peut-être aussi le barycentre de : (G,2)(I,3).

Pourquoi 2 pour G ? et 3 pour I ?

[NicoEnac]

La réponse à la première question est faux !
(A,1)(B,1)(C,1)(A,1)(B,1) peut donner (A;2), (B;2) et (C;1) qui est M mais aussi (G,3)(I,2) donc la première proposition est fausse

[invitef4ce017a]

Merci, je crois avoir finalement compris.

pour la 2/,
que faut-il que j'utilise ?

3/ J'ai fait :
M barycentre de (A;2) (B;2) (C;1)
soit E barycentre de (B;2) (C;1) donc E appartient à [BC]
M barycentre de (A;2) (E;3) donc M appartient à [AE]

Donc affirmation juste.

4/ FAUX car M n'est pas isobarycentre de (A; alpha) (B; béta).


Est-ce correct ?

[NicoEnac]

Pour la 2), il suffit de remarquer que le barycentre de (A,2)(B,2)(C,1) est aussi le barycentre de (I,4)(C,1) donc M est sur [CI] qui est médiane de ABC tout comme G. D'où C, M et G alignés et non A, M et G !

[invitef4ce017a]

Merci, j'ai réussi à le démontrer =)

Qu'en est-il de la 3/ et de la 4/ ? Mes réponses sont-elles plausibles ?

[invite5150dbce]

Merci, j'ai réussi à le démontrer =)

Qu'en est-il de la 3/ et de la 4/ ? Mes réponses sont-elles plausibles ?

Sinon pour la 2 :
G est le centre de gravité de ABC ==> GA+GB+GC=0
M est le barycentre de (A;2), (B;2) et (C;1) ==> 2MA+2MB+MC=0
<==>2MA+2MB+MC=0
<==>2MG+2GA+2MG+2GB+MG+2GC-GC=0
<==>5MG-GC=0

[invite5150dbce]

J'ai un exo à faire et je bloque. Voilà, je vous donne l'énoncé et les pistes de ce que j'ai commencé à chercher, si des âmes charitables sont prêtes à m'aider

ABC est un triangle, G son centre de gravité, I milieu de [AB] et M le barycentre de (A;2), (B;2) et (C;1).

Parmi les affirmations suivantes, indiquer celles qui sont vraies et justifier.

1/ M barycentre de (G;2) et (I;3).

J'ai commencé à faire : 2 (v)GM = 3 (v) MI.
donc vecteur nul est égal à 3MI + 2 MG.

Je me suis dit qu'il faut que j'arrive à le prouver... mais je développe 2 (v) GM, je ne retombe pas sur 3 (v) MI =/

(v) pour vecteur.

2/ A, M, G sont alignés.

Je pense qu'il faut démontrer que les vecteurs AG et AM sont colinéaires, mais comment y parvenir si on ignore où se trouve M?

3/ Le point d'intersection E des droites (AM) et (BC) est barycentre de (B;2) et (C;1).

Faut-il utiliser la propriété d'associativité des barycentres?
Avec J barycentre de (B; ?) et (C; ?) et F barycentre de (A; ?) et (M; ?)

4/ M milieu de [AE]

pour la 3, tu peux montrer barycentre de (B;2) et (C;1) <==> Le point d'intersection E des droites (AM) et (BC) et donc, tu auras bien Le point d'intersection E des droites (AM) et (BC) est barycentre de (B;2) et (C;1)

[invitef4ce017a]

Merci hhh86,
3/ c'est ce que j'ai fait :

M barycentre de (A;2) (B;2) (C;1)
soit E barycentre de (B;2) (C;1) donc E appartient à [BC]
M barycentre de (A;2) (E;3) donc M appartient à [AE]

Donc E appartient à [BC] et [AM] donc c'est un point d'intersection des deux droites.
Est-ce ainsi qu'il faut dire ?

[invite5150dbce]

Merci hhh86,
3/ c'est ce que j'ai fait :

M barycentre de (A;2) (B;2) (C;1)
soit E barycentre de (B;2) (C;1) donc E appartient à [BC]
M barycentre de (A;2) (E;3) donc M appartient à [AE]

Donc E appartient à [BC] et [AM] donc c'est un point d'intersection des deux droites.
Est-ce ainsi qu'il faut dire ?

Oui mais le problème c'est que l'équivalence n'est pas claire, on voit plutôt l'implication. Or B==>A ne signifie pas que A==>B. Seul B<==>A permet d'affirmer A==>B

[invite5150dbce]

Je te fais un corrigé de la 3ème question par implication seulement :
E est le point d'intersection des droites (AM) et (BC) donc E appartient à (AM) et (BC). Par conséquant EA et AM sont colinéaires et EB et BC sont colinéaires.
Il en résulte qu'il existe un réel a tel que EA=aAM et un réel b tel que EB=bBC
M est le barycentre de (A;2) (B;2) (C;1) donc 2MA+2MB+MC=0
<==>2MA+2MA+2AB+MA+AC=0
<==>5MA+2AB+AC=0
<==>5AM=2AB+AC
<==>AM=(2/5)AB+(1/5)AC
D'après la relation de Chasles, on a BC=BA+AC=-AB+AC et AB=AE+EB
Par conséquent on a :
AB
=AE+EB
=-EA+EB
=-aAM+bBC
=-a[(2/5)AB+(1/5)AC]+b[-AB+AC]
=AB[-(2a/5)-b]+AC[-(a/5)+b]
AB=AB[-(2a/5)-b]+AC[-(a/5)+b]
<==>AB[-(2a/5)-b]+AC[-(a/5)+b]-AB=0
<==>AB[-(2a/5)-b-1]+AC[-(a/5)+b]=0
Comme AB et AC ne sont pas colinéaires, l'égalité précédente équivaut au système suivant :
-(2a/5)-b-1=0
-(a/5)+b=0
On a donc b=a/5
D'où -(2a/5)-a/5-1=0
<==>-3a/5=1
<==>a=-5/3
Comme b=a/5, alors b=-1/3
On obtient donc EA=-(5/3)AM et EB=-(1/3)BC
EB=-(1/3)BC
<==>EB+(1/3)BC=0
<==>EB+(1/3)BE+(1/3)EC=0
<==>EB-(1/3)EB+(1/3)EC=0
<==>(2/3)EB+(1/3)EC=0
<==>2EB+EC=0
On a donc E barycentre de (B,2) et (C,1)
EA=-(5/3)AM
<==>EA+(5/3)AM=0
<==>3EA+5AM=0
<==>3EM+3MA+5AM=0
<==>-3ME-2MA=0
<==>3ME+2MA=0
M est donc le barycentre de (E,3) et (A,2)
M n'est donc pas le milieu de [AE]

[invite5150dbce]

E est le barycentre de (B,2) et (C,1) donc 2EB+EC=0
<==>2EA+2AB+EA+AC=0
<==>3EA+2AB+AC=0
<==>3AE=2AB+AC
<==>AE=(2/3)AB+(1/3)AC
Montrons par l'absurde que M n'est pas le milieu de [AE].
Supposons donc que M soit le milieu de [AE], alors M est l'isobarycentre de A et de E. On a donc
MA+ME=0
<==>2MA+AE=0
<==>AE=2AM
On sait que AM=(2/5)AB+(1/5)AC
AE=(4/5)AB+(2/5)AC, ce qui est absurde
M n'est donc pas le milieu de [AE].

[invitef4ce017a]

Merci beaucoup pour ce corrigé. Ca m'a aidé

Même si ma prof a largement simplifié ; elle a fait comme moi aussi ^^