Raisonnement par disjonction de cas

[invite6b845e6b]

Bonsoir tout le monde,

J'ai un petit problème, je dois faire un exposé sur quelques types de raisonnement ( par l'absurde, la contraposée, récurrence ). J'ai trouvé les explications pour tous sauf celui par disjonction de cas (les explications sont soit trop courtes, soit trop compliquées et trop courtes). J'aimerais une explication assez simple ( je ne suis qu'en 1ere S ) et courte ça me laissera la possibilité de rédiger comme ça... Sinon si vous avez des liens à me proposer...

Merci d'avance.

PS: J'ai cherché sur wikipédia ( les explications de wikipédia sont loins d'être simples ) mais je n'ai rien trouvé!! (nul en recherche?)
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[VegeTal]

Faire un raisonnement par disjonction des cas, c'est comme son nom l'indique, raisonner en séparant les différentes éventualités possibles (en d'autres termes, on étudie tout les cas possibles). On l'utilise principalement en arithmétique (du moins au lycée), et plus généralement quand un raisonnement analytique est trop long ou trop compliqué.

Exemples :

1) pour étudier la limite de quand tends vers de on sépare le cas :

; et .

2)Pour savoir à quel condition est divisible par 3 dans On étudie les cas :

est multiple de 3 ; divisé par 3 reste 1 ; divisé par 3 reste 2.
(autrement dit : les cas ; et avec )

3)Pour savoir si la courbe représentative d'une fonction trinôme, , ( ; ) admet un somment vers le haut ou vers le bas, on sépare le cas et .

J'ai essayer d'être le plus complet possible, en utilisant des exemples assez faciles et dans tes capacités et/ou programme (en cours et à venir ) si tu as d'autres questions n'hésite pas

[invite6b845e6b]

Merci!!!

Si j'ai bien compris...

Je dois traiter cet expemple: Si n est un entier, n(n+1) est pair.

Donc deux cas:

Soit n est pair.

n²+n

Or un nombre pair élevé au carré est pair et la somme de deux nombres pairs est pair. Donc si n est pair la proposition est vrai.

Soit n est impair.

n²+n

Or un nombre impair élevé au carré est impair mais la somme de deux nombre impair est pair. Donc si n est impair la proposition est vrai.






Question: Pour que la proposition soit vrai, tous les cas doivent être vrai ou un seul suffit ( dans ce cas là il faudrait être plus préscis dans la proposition ) ?

[invite7ffe9b6a]

On doit montrer pour tout entier n :
n(n+1) est paire.

...................

Tout entier est soit paire , soit impaire.
Autrement dit tout entier s'ecrit 2k ou 2k+1 (avec un certain entier k).

Bon ben distinguons 2 cas:

- n est paire: n=2k
donc n(n+1)=2k(2k+1) = 2 (k(2k+1)) paire


-n est impaire:n=2k+1
donc n(n+1)=(2k+1)(2k+1+1)=(2k+1)(2 k+2)=(2k+1)(2(k+1))=2(2k+1)(k+ 1) paire


donc pour tout n paire et tout n impaire n(n+1) est paire.

Et en faisant pair et impaire on a bien fait tous les cas possibles.



Autre exemple

montrer que pour tout entier n
n(n+1)(n+2) est divisible par 3.

.............................. ...

Ici on va distinguer 3 cas:
soit n est divisible par 3 donc n=3k (pour un certain entier k je ne préciserais plus)

soit la division de n par 3 fournit comme reste 1 donc n=3k+1

soit la divisions de n par 3 fournit comme reste 2 donc n=3k+2

On a bien tous les nombres possibles en reunissant tous ces cas:

or si n=3k alors n(n+1)(n+2) divisible par 3

si n=3k+1 aussi

si n=3k+2 aussi

DANS TOUS LES CAS , n(n+1)(n+2) est divisble par 3

donc pour tout n n(n+1)(n+2) est divisible par 3



EDIT: pour que la proposition soit vrai, il faut que pour TOUS LES CAS, cela soit vrai.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6b845e6b]

Ok merci beaucoup , donc en fait, la disjonction de cas est l'un des raisonnements qui est le meilleur ou le raisonnement dépend de la proposition de départ? Parce que j'ai pu lire que certains raisonnements peuvent engendrer un sophisme par exemple.

Je peux aussi présciser qu'un nombre Entier multiplié par 2 est toujours pair.

[VegeTal]

Qu'entends tu par sophisme ? donne un exemple.

Normalement si on fait un raisonnement par disjonction des cas, cela est infaillible vu qu'on ne laisse aucun cas de côté. Cependant il y a des problèmes où il y a énormément de cas à étudier... (heureusement qu'il y a l'ordinateur )

[invite6b845e6b]

Vegetal c'est ce que j'essayais de dire, la disjonction de cas ne pose pas de problème alors que d'autres raisonnements peuvent entraîner un sophisme comme par l'absurde ou par contraposée.

[VegeTal]

ok autant pour moi mais en faite les raisonnements par disjonctions des cas montrent vite leurs limites. Rien ne vaut un bon raisonnement analytique

Par exemple : pour savoir à quels conditions est divisible par 23 !!

[invite6b845e6b]

il faudrait, d'une part que x² soit multiple de 23 et d'autre part que 2x soit multiple de 23...

Sinon dans le raisonnement par récurrence, pour qu'un proposite P soit vrai, elle doit -être vrai pour tous les entiers naturels:

Elle doit être vraie pour n=0
Elle doit être vraie pour n et son successeur ( n+ 1) .

Ma question est, pour la deuxième condition, n > 0?

Car l'exmple que je traite est le suivant:

La somme des n premiers entiers égale n(n+1), et ca ne marche par si je prends n=0 et n+1=0+1. Quand on parle de premiers entiers, on ne comme pas par 0 mais par 1?

[VegeTal]

Il faut prendre des précautions car calculer la somme des 0 premiers termes n'a pas beaucoup de sens, en effet.

Mais en faite si tu considères que correspond à 1 alors correspond à 2 et ainsi de suite...

tu ne peux pas initialiser pour ou , par contre pour .
c'est à dire 1+2+3

La proposition est vraie pour (le raisonnement proprement dit n'est pas exposé ici, mais tu n'auras pas de mal à le faire par toi même)
il te reste plus qu'à montrer que la somme du premier entier naturel est 1 et la somme des deux premiers entier naturels est 3

Voila un bon exemple d'utilisation maladroit d'un raisonnement par récurrence (je trouve).