Equation diophantienne [Maths spé TS]

[invite319b46d2]

bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre : x²-y²=1517
avec x et y entier naturels

Si quelqu'un peu m'aider,
Merci !
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Quelle est la particularité de 1517, que tu écris en si grand ?

[invite319b46d2]

il est premier... ?

[Arkangelsk]

il est premier... ?

Ah... Je ne réponds pas . Comment faire pour le vérifier ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[thomas5701]

Il y a de grande chance qu'il le soit, je pense que c'est se que tu fais en ce moment.

Un petit indice:
Sachant qu'il est premier, discutes selon les valeurs de x et y après avoir factoriser:

x²-y²=(x-y)(x+y)

Cordialement, Thomas.

[Arkangelsk]

Je mets ma façon de procéder en spoil.

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Il y a de grande chance qu'il le soit, je pense que c'est se que tu fais en ce moment.

Et pourtant, il ne l'est pas.... est un nombre relativement petit. Une méthode possible consiste à tester tous les diviseurs de de jusque . désignant la partie entière. Cela fait donc à tester, mais en éliminant les pairs, les multiples de , de , etc. il ne reste qu'une petite dizaine de diviseurs à tester tout au plus. On obtient finalement : . Le reste est facile.

[danyvio]

Même de tête, on peut essayer de diviser par 7 -

[danyvio]

Il y a de grande chance qu'il le soit, .

S'il est premier, l'équation initiale n'a évidemment pas de solution...

[invite890931c6]

La méthode que nous utilisons pour de plus grands nombres :

avec un grand nombre.

on fait un travail sur les congruence des carrés (par exemple 7, 9 , 11, 15) pour dégager assez de contraintes pour réduire l'étude des cas.

Exemple : on travail modulo 7

0 1 2 3 4 5 6
0 1 4 2 2 1 1

on en déduit que

on élimine les valeurs pour lesquelles ne donne pas un carré.
on en déduit que x est de la forme....

et on fait pareil pour dégager suffisamment de contraintes.

[invité576543]

S'il est premier, l'équation initiale n'a évidemment pas de solution...

4²-3² = 7, 9²-8² = 17

Cordialement,

[invité576543]

La méthode que nous utilisons pour de plus grands nombres ...).

Il y a plus simple comme méthode, un indice a été donné plus tôt dans le fil qui indique la méthode applicable pour toutes les équations x²-y²=n, que n soit premier ou non, petit ou grand.

Cordialement,

[danyvio]

4²-3² = 7, 9²-8² = 17

Cordialement,

C'est exact, mais j'avais (implicitement à mon grand tort ) négligé les solutions avec (x-y) = 1