Equations différentielles

[invite323995a2]

Bonsoir à tous,

Quelques difficultés pour cette exercice....

1.Trouvez une fonction g de la forme x-> a*e^-x telle que pour tout réel x, on ait g'(x) + 3g(x)= 2e^-x.
Pour cette demande, je vois que l'équation donnée est du type y'=ay+b. Ce qui donne x-> k*e^(ax) - (b/a). Or pour cette équation on obtient gk(x)= ke^(-3x) + (2e^(-x))/ 3
Mais cela ne correspond pas à la forme indiquée. Quelqu'un pourrait-il me dire si il y a une erreur et si possible me dire où?

2. Démontrez qu'une fonction f est solution de l'équation différentielle (E): y'+3y=h, où h est la fonction telle que h(x)= 2e^(-x), si et seulement si f-g est solution de (E'): y'+ 3y=0.
La je ne sais pas trop comment m'y prendre. Si quelqu'un pourrait m'indiquer comment on prouve "si et seulement si f-g est solution de (E'): y'+ 3y=0".

Votre aide me serait très utile.

Merci d'avance,millionsdollar
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[Flyingsquirrel]

Salut,

1.Trouvez une fonction g de la forme x-> a*e^-x telle que pour tout réel x, on ait g'(x) + 3g(x)= 2e^-x.
Pour cette demande, je vois que l'équation donnée est du type y'=ay+b. Ce qui donne x-> k*e^(ax) - (b/a). Or pour cette équation on obtient gk(x)= ke^(-3x) + (2e^(-x))/ 3
Mais cela ne correspond pas à la forme indiquée. Quelqu'un pourrait-il me dire si il y a une erreur et si possible me dire où?

Quand tu parles d'une équation différentielle du type j'imagine que est une constante... ce n'est pas le cas de .

2. Démontrez qu'une fonction f est solution de l'équation différentielle (E): y'+3y=h, où h est la fonction telle que h(x)= 2e^(-x), si et seulement si f-g est solution de (E'): y'+ 3y=0.
La je ne sais pas trop comment m'y prendre. Si quelqu'un pourrait m'indiquer comment on prouve "si et seulement si f-g est solution de (E'): y'+ 3y=0".

" est solution de si et seulement si est solution de " signifie que :

• si est solution de alors est solution de ;
• si est solution de alors est solution de .

On peut prouver ces deux affirmations séparément ou simultanément (en raisonnant avec des équivalences ), au choix.

[invite323995a2]

J'ai fait autrement et je suis arrivé à un résultat qui semble correct. Je voudrais juste une petite vérification.

Pour le1., j'ai mi que si g est de la forme ae^(-x) alors g'(x)= -a * e(-x). On a donc g'(x)+ 3g(x)= -a*e^(-x) + 3*a*e^(-x)= e^(-x) * (-a+3a) = e^(-x) * (2a). Mais nous on veut que e^(-x) * (2a)=2*e^(-x). Donc a=1

[invite323995a2]

Pour le2. f − g solution de (E') veut dire que f − g + 3(f − g)' = 0 (=) f − g + 3f' − 3g' = 0
(=) f + 3f' = g + 3g'
(=) f(x) + 3f'(x) = 2e−x pour tout réel x
(=) f solution de (E)

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Pour le1., j'ai mi que si g est de la forme ae^(-x) alors g'(x)= -a * e(-x). On a donc g'(x)+ 3g(x)= -a*e^(-x) + 3*a*e^(-x)= e^(-x) * (-a+3a) = e^(-x) * (2a). Mais nous on veut que e^(-x) * (2a)=2*e^(-x). Donc a=1

C'est bon.

Pour le2. f − g solution de (E') veut dire que f − g + 3(f − g)' = 0 (=) f − g + 3f' − 3g' = 0
(=) f + 3f' = g + 3g'
(=) f(x) + 3f'(x) = 2e−x pour tout réel x
(=) f solution de (E)

Perdu. La dernière égalité est donc tu ne peux pas dire que est solution de . Le problème est que solution de signifie et non pas ce que tu as écrit.

[invite323995a2]

Ah oui. J'ai inversé, donc j'obtiens après correction f'+3f=2*e^(-x).Donc f sol de (E).

On me demande ensuite de résoudre (E) et j'ai quelques problèmes.
Je sais que la je viens de trouver que (f-g)' + 3(f-g) = 0 (=) f'+3f= 2e^(-x).

A mon avis on me demande donc de trouver la valeur de f car f est solution de (E). Mais par où commencer?

[Flyingsquirrel]

On me demande ensuite de résoudre (E) et j'ai quelques problèmes.
Je sais que la je viens de trouver que (f-g)' + 3(f-g) = 0 (=) f'+3f= 2e^(-x).

Oui et tu sais résoudre : , tu peux donc en déduire ...

[invite323995a2]

(f-g)' + 3(f-g) = 0 (=) (f-g)'= -3(f-g)

C'est une équation différentielle du type y'= ay

Avec y'= (f-g)' a= -3 y=(f-g)

Les solutions de cette équation sont donc les fonctions fk définies par fk(x)= k*e^(-3x) k appartenant à R, c'est ça?

[Flyingsquirrel]

Oui. On en déduit que donc les solutions de sont les fonctions telles que où est un réel.