Résolution d'équation.

[invite44d70ebf]

Bonjour,
J'ai un exercice dont la question 2) me pose problème.
Le voici:

1. Démontrer que l'équation x^5 -209x+56=0 admet trois solutions réelles, dont on donnera le signe.

2. a) Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme.

b) En déduire ces deux solutions.

3. En procédant par dichotomie, déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de la troisième solution.


Merci d'avance de votre aide.
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[invitee9c21d9d]

après sa je sais pas mais sa peut p-e te donner une idée

[invite44d70ebf]

Salut
J'ai déjà cherché de ce côté. Je ne trouve rien.

[hhh86]

Bonjour,
J'ai un exercice dont la question 2) me pose problème.
Le voici:

1. Démontrer que l'équation x^5 -209x+56=0 admet trois solutions réelles, dont on donnera le signe.

2. a) Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme.

b) En déduire ces deux solutions.

3. En procédant par dichotomie, déterminer une valeur approchée à 10^-2 près de la troisième solution.


Merci d'avance de votre aide.

Tu peux utiliser cette relation :
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)=x^5+ (a+b+c+d+e)x^4+(ab+ac+bc+ad+bd +cd+ae+be+ce+de)x³+(abc+abd+ac d+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde) x²+(abcd+abce+abde+acde+bcde)x +abcde
avec
a+b+c+d+e=0
ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de= 0
abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ad e+bde+cde=0
abcd+abce+abde+acde+bcde=-209
abcde=56

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkangelsk]

Bonjour,

Tu peux utiliser cette relation :
(x+a)(x+b)(x+c)(x+d)(x+e)=x^5+ (a+b+c+d+e)x^4+(ab+ac+bc+ad+bd +cd+ae+be+ce+de)x³+(abc+abd+ac d+bcd+abe+ace+bce+ade+bde+cde) x²+(abcd+abce+abde+acde+bcde)x +abcde
avec
a+b+c+d+e=0
ab+ac+bc+ad+bd+cd+ae+be+ce+de= 0
abc+abd+acd+bcd+abe+ace+bce+ad e+bde+cde=0
abcd+abce+abde+acde+bcde=-209
abcde=56

Eh bien, bon courage pour la résolution du système !

Le plus simple est d'étudier les variations de la fonction et d'utiliser le théorème des valeurs intermédiaires.

[invite44d70ebf]

Merci Arkangelsk. Je l'ai déja fait. Mon idée était d'encadre le produit par 1 et 1 et d'en déduire que le produit était 1. Seulement même à 10^-5 près, mes valeurs extrêmes sont 0.99985 et 1.0053.
Cette résolution ne me semble pas juste. Mais peut-être est-ce suffisant?

[Arkangelsk]

Salut,

Désolé, j'avais oublié de lire ta première phrase. Pour la 2ème question, à moins que quelque chose m'échappe (ce qui est fort possible ), ce n'est pas évident du tout. Tu peux regarder là : Équation_quintique et chercher dans l'une où l'autre des méthodes de résolution d'équations (Ferrari, Descartes, Sotta, etc.)... Cependant, les calculs risquent d'être complexes, voire très complexes.

PS : Un problème similaire a été soulevé là pour une équation d'une ressemblance frappante, bien que de degré 4. Enfin, apparemment, il y a une erreur d'énoncé ...

[invite44d70ebf]

Complexe, le mot est faible. Oh là, c'est sympa mais je suis complètement larguée. La vue de tous ces polynôme me donne envie d'enterrer mon livre de maths. Pourrais tu stp traduire plus simplement pour moi???

[Flyingsquirrel]

2. a) Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme.

b) En déduire ces deux solutions.

J'ai bien une idée pour trouver ces deux solutions mais ça ne colle pas trop avec l'énoncé.

On nous demande de prouver deux racines réelles et de telles que. Cette dernière égalité peut-être écrite , notre problème se résume donc à trouver un réel tel que et soient des racines de . Autrement dit, on veut trouver le solutions du système

En multipliant la seconde égalité par et en jouant un peu sur l'écriture, on obtient le système suivant

... qui est plutôt simple à résoudre.

[God's Breath]

Bonjour,

1. Démontrer que l'équation x^5 -209x+56=0 admet trois solutions réelles, dont on donnera le signe.

Comme on te l'a déjà dit, il suffit d'étudier les variations de ; c'est pénible mais facile.

2. a) Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme.

Si deux solutions et ont pour somme et pour produit , ce sont les solutions de , ce qui permet de les calculer dès que est connu.

Mais les solutions de sont solutions de si, et seulement si divise ; le quotient est alors du troisième degré et l'on doit avoir :



ce qui conduit, après développement et identification des termes de mêmes degré, au système :

En résolvant, de haut en bas, les deux premières équations, on obtient :

En résolvant, de bas en haut, les trois dernières équations, on obtient :

Il reste à résoudre les deux équations intermédiaires , c'est-à-dire, avec les valeurs calculées, , soit , et il n'y a plus qu'à résoudre ces équations du second degré pour avoir .

[Arkangelsk]

Bonjour,

Merci God's Breath pour la démonstration de . Cependant, quelque chose me gêne un peu : comment justifier l'hypothèse : ?

Pour Flyingsquirrel, pourquoi multiplier la deuxième équation par et non par ?

[God's Breath]

Bonjour,

comment justifier l'hypothèse : ?

Il n'y a rien à justifier, c'est une donnée de l'énoncé !!!

[Arkangelsk]

En fait, je voulais parler de la première partie de la question :

Démontrer que deux de ces solutions ont pour produit 1 et calculer leur somme.

Pour calculer la somme, on peut bien sûr utiliser le fait que , mais pour démonter que ...

[God's Breath]

Архангельск

C'est un classique raisonnement analyse synthèse.

Analyse
Si deux solutions et ont pour somme et pour produit , ce sont les solutions de qui divise alors , et le quotient est du troisième degré.

Les calculs conduisent à la factorisation sous la condition qui me fournit la valeur de , que je noterai (bien faire la différence entre qui est une inconnue, et qui est un nombre connu, mais dont je ne veux pas dévoiler la valeur dans ce message...).

Synthèse (c'est-à-dire la réponse à la question, que j'expose brutalement sous cette forme, en passant sous silence l'analyse, ce qui produit un effet de prestidigitation)
Je parachute la factorisation (ahurissement de l'assistance ébahie : comment a-t-il/elle fait pour trouver ça ?), j'en déduis que, parmi les racines de , il y en a deux qui sont racines de : ces deux racines sont de produit 1, et leur somme vaut .

J'ai donc répondu à la question, et je peux passer à la suivante, c'est-à-dire à la résolution de l'équation

[Arkangelsk]

Merci God's Breath, j'ai bien compris maintenant .

[Flyingsquirrel]

Pour Flyingsquirrel, pourquoi multiplier la deuxième équation par et non par ?

Dans le cas où l'on multiplie la "deuxième équation" par , une fois que l'on est arrivé à

,

il suffit de se débarrasser du présent dans la seconde équation en utilisant . On obtient alors qui est une équation du second degré, on est donc capable de la résoudre.

Si j'avais multiplié la "deuxième équation" par et non par , on aurait obtenu, à la place de l'équation du second degré, l'équation suivante : . Afin de la résoudre, on l'aurait multipliée par (ou on aurait mis tous les termes au même dénominateur, ce qui revient au même) pour se ramener à une équation du second degré. Bilan : on a multiplié la "deuxième équation" par puis par ... autant la multiplier par dès le départ.

[God's Breath]

Pour Arkangelsk

Flyingsquirrel prouve que et sont deux solutions de l'équation initiale si, et seulement si, .

On s'attend naturellement à ce qu'il réécrive le système sous sa forme polynomiale la plus simple :

Ensuite il n'y a plus qu'à dire que est racine de et de si ,et seulement si, est racine de leur pgcd.
Le calcul de ce pgcd, par exemple par l'algorithme d'Euclide, est un peu long et Flyingsquirrel, qui a l'œil vif, préfère le calculer en tant que pgcd de et de (puisque 0 n'est pas racine de ) parce qu'il a bien vu que pour ces polynômes il a une méthode rapide pour obtenir le résultat.

[Arkangelsk]

D'accord. C'est effectivement plus simple en multipliant par directement. Je n'avais pas vu qu'on pouvait arriver rapidement à une équation du second degré.

[Flyingsquirrel]

Tiens, c'est vrai que l'on peut interpréter ma solution en utilisant la notion de divisibilité. Je n'y avais pas du tout pensé.

Merci, God's Breath.

[God's Breath]

C'est cela les mathématiques : transformer une astuce de calcul en une méthode théorique.