inequation avec inconnue en puissance

[invitea78a56a3]

Mon professeur de math a eclaté en colere et il nous a donné des exercices assez compliqués sur les suites reelles. Nous serons interrogés dessus au cours prochain sans les avoir corrigés. D'ailleur il refuse de nous faire cours jusqu'à noel et nous a dit qu'il ne fonctionnerait plus que comme ca...

Voici l'exo qui me pose probleme:

On considere la suite (Un) definie par :
•U₀=1
•Pour tt n Є N ; 2U_n+1=U_n-1

1)Calculer les 5 premiers termes de la suite.

2) Soit (V_n), la suite definie par:
• pour tt n € N; V_n= U_n + a, où a est un nombre réel

a)determiner le nombre a tel que V_n soit une suite geometrique.

b) En deduire les valeurs de V_n et de U_n en fonction de n

c) Etudier le sens de variation et la convergence de la suite (U_n)

d) Trouver le plus petit entier positif n tel que:
U_n+1< 10^-4


mes reponses:
1) pas de probleme
2)a) a=1 et V_n+1=V_n* 1/2
2)b) V_n= 2* (1/2)ⁿ
et U_n=2*(1/2)ⁿ-1
2)c) U_n+1-U_n= -(1/2)ⁿ<0 donc (U_n) decroissant
lim(U_n)=-1 donc converge vers -1
n->+infini

2)d)??????
je suis arrivée à
2(1/2)ⁿ<10^-4
1/2ⁿ<10^-4/2
1/2^n-1<10^-4
1<10^-4* 2^n-1
1<2^-4*5^-4*2^n-1
1<5^-4*2^n-5
...... je suis bloquée. comment trouver n????
On ne l'a jamais vu en cours..

merci d'avance pour vos réponses

cordialement
mayl
-----

[invite7ffe9b6a]

Connais tu le logarithme?

[invitea78a56a3]

non on l'a pas vu.(je ne suis qu'en premiere.).. mais dites quand meme. je peux toujour essayer de comprendre

[invite890931c6]

En première nous, on résolvait ce type de problème avec la calculatrice. Parceque pour trouver la réponse il faut connaitre le logarithme qu'on voit qu'en terminale.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

2)d)??????
je suis arrivée à
2(1/2)ⁿ<10^-4
1/2ⁿ<10^-4/2
1/2^n-1<10^-4

A partir de là il faut continuer autrement que tu n'as fait, et dire :
10⁴<2^n-1
La suite 2,4,8,16,32,64... des puissances de 2 est strictement croissante, il faut donc calculer ses termes jusqu'à en obtenir un qui soit strictement supérieur à 10⁴ ; ce n'est pas si long que cela en a l'air... attention, l'exposant sera n-1 et pas n.

[invite7ffe9b6a]

non on l'a pas vu.(je ne suis qu'en premiere.).. mais dites quand meme. je peux toujour essayer de comprendre

Mieux vaut faire comme le dit God's breath, c'est la méthode attendu en première je pense.

sinon pour trouver le rang sans tatoner, en deux mots le logarithme néperien (Ln) est une fonction strictement croissante definit
sur ]0;+linfini[, negative sur ]0;1], positive sur [1;+linfini[ (nul en 1) qui a la bonne propriete de "faire tomber l exposant"

si a>0
alors

De coup,

en partant de



tout est positif, on passe au ln



soit



attention maintenant 1/2<1 donc ln(1/2)<0

d'où



soit finalement


donc finalement

(le prof que javais en premiere nous avait explique en deux mots cette propriete du logarithme)

Cependant si tu veux essayer cette méthode, ce qui doit etre présent sur une copie, c'est le fait que (1/2)^(n-1) décroissante

et

pour n=14
(1/2)^(14-1)=(1/2)^13 environ 0.00012 >10^-4

pour n=15

(1/2)^(15-1)=(1/2)^14 environ 0.00006 <10^-4

donc le rang a partir duquel ... est 15
peut importe comment tu as eu l'idée d'essayer 14 et 15, soit en tatonnant, soit en utilisant le ln


mais en general tatoner prend pas trop de temps et est beacoup moins source d'erreur.

[invitea78a56a3]

merci beaucoup. Je pense avoir plus ou moins compris le logarithme.
Merci à tous et bonne soirée.

cordialement
mayl