Bonjour,
J'ai beaucoup de mal avec ce raisonnement car il n'y a aucune formule a appliquer. Dans mon cours il m'est juste expliqué l'initialisation et l'hérédité.
Je dois démontrer par récurrence que :
u(n+1) = racine (u(n) + 5)
<=>
u(n) < ou = 3
et u(0) = 1
Je ne sais pas du tout comment commencer donc si quelqu'un pouvait m'aider...
Merci d'avance
- initialisation: la propriété à montrer est-elle vraie pour n=0 ?
- Hérédité: Soit n supérieur ou égal à 0, on suppose que Un<=3. Est que cela implique que Un+1<=3 ?
En d'autres termes, il faut montrer que racine (u(n) + 5) <=3 en supposant Un<=3
-conclusion: initialistion+hérédité, la propriété est vraie pour tout n>=0
et pourquoi u(n) serait-il <= 3 ?
J'ai l'impression que tu n'as pas compris le principe de l'hérédité:
on suppose que Un<=3 et on montre que cela implique que Un+1<=3, c'est pour cela qu'on appelle cela hérédité, cette propriété se transmet de Un à Un+1 puis à Un+2 etc....Et comme on a montré qu'elle est vraie pour U0, elle se transmet à U1 qui la transmet à U2 etc....Suis je clair ?
Oui mais je ne comprends pas comment on peut partir d'un résultat qu'on est censé démontrer
Bonjour,
C'est le principe même du raisonnement par récurrence : l'hérédité, ce n'est pas montrer que pour toutEnvoyé par Texanito
Oui mais je ne comprends pas comment on peut partir d'un résultat qu'on est censé démontrer,
La récurrence est la méthode mathématique de la démonstration de "proche en proche". En clair si tu montres qu'à un certain rang une propriété est vraie, alors tu peux supposer qu'elle est vrai dans sa forme générale, et tu essaye de montrer qu'elle est vrai au rang suivant.
Si P(0) vraie
Si tu supposes P(n) vraie, et que P(n) implique P(n+1) alors P(n) est vraie. car il suffit de prendre n=0 tu remplaces P(0) vraie donc P(1) vraie. Puis de "proche en proche" pour n = 1 vraie donc P(1) vraie implique P(2) vraie et ainsi de suite...
Bon et bien si je pose u(n)<=3
alors u(n+1) = racine(u(n)+5)
donc u(n+1) = racine(8)
Donc u(n+1) <= 3
Et comme la condition initiale u(0) = 1 <= 3, alors pour tout n appartenant à N, u(n) <= 3
C'est bon ?
On ne part pas du résultat que l'on veut démontrer.Oui mais je ne comprends pas comment on peut partir d'un résultat qu'on est censé démontrer
Une récurrence c'est une infinité de résultats à démontrer : pour tout entier n, P(n), cela veut dire que tu dois montrer P(0), P(1), P(2), P(3), ...
Tous ces résultats sont sur les marches successives d'un immense escalier.
L'initialisation : établir P(0), c'est démontrer le résultat qui est en bas de l'escalier.
L'hérédité : tu supposes P(n), c'est-à-dire que tu te projettes par la pensée sur une marche de l'escalier ; tu démontres P(n+1), c'est-à-dire que du peux atteindre la marche suivante.
Avec l'initialisation et l'hérédité : tu es démontrer que tu peux te placer en bas de l'escalier, et que tu sais passer d'une marche à la suivante ; tu en déduis que tu peux gravir tout l'escalier, autrement dit que P(n) est vrai pour tout n.
et le raisonnement que j'ai fais précédemment est-il correct ?
Je ne vois pas comment, d'une inégalité sur u(n), on pourrait déduire une égalité sur u(n+1).
Tu prétends que, que u(n) soit égal à 1, à 2, à 1,35, à 2,584, ou encore à 0,375, du seul fait que ces valeurs sont inférieures à 3, alors u(n+1) vaut systématiquement 8 !
Oui pardon j'ai oublié le < :
u(n)<=3
alors u(n+1) <= racine(u(n)+5)
donc u(n+1) <= racine(8)
C'est ça ?
Cette fois, oui, c'est correct.
D'accord, merci beaucoup pour l'aide, parce que je suis quand même en TS et je n'avais visiblement rien compris à la récurrence, je vais continuer à faire des exos.
Bonne soirée !
