démontrer par récurence

[snyfir]

Bonjour,
je ne c'est pas commant démontrer par récurence que pour tout n>1 : 1+2+3+...+n = (n(n+1)):2

Merci de votre aide
-----

[Bleyblue]

Salut,

Le principe c'est :

1) Montrer que l'égalité est vraie pour la valeur de départ (donc ici 2)

2) Supposer qu'elle est vraie pour tout n (naturel) et montrer qu'alors ça l'est toujours pour (n+1)

Alors ton égalité sera vraie pour tout n.

Bonne chance

[snyfir]

Salut,

Le principe c'est :

1) Montrer que l'égalité est vraie pour la valeur de départ (donc ici 2)

2) Supposer qu'elle est vraie pour tout n (naturel) et montrer qu'alors ça l'est toujours pour (n+1)

Alors ton égalité sera vraie pour tout n.

Bonne chance

sa je sais mai enfaite je ne sais pas comman mis prende pour le 2) : 1+2+3+...+k+1 = ((k1)((k+1)+1)):2 ?

[fritzlm]

tu supposes que 1+2+...+n=n(n+1)/2 et tu cherches à calculer 1+2+...+n+1.
1+2+...+n+1=(1+2+...+n)+(n+1)
Ici tu utilises ton hypothèse de récurence pour remplacer la somme jusqu'à n ce qui te donne:
1+2+...+(n+1)=n(n+1)/2 + (n+1)
A toi de poursuivre!

[A voir en vidéo sur Futura]

[secondlight]

C'est possible que qqun passe expliquer jusqu'au bout comment on doit résoudre par récurrence?
En m'aidant vous aiderez d'autres personnes qui sont dans le même cas que moi.

(la preuve, si fritzlm avait prit la peine d'expliquer correctement et jusqu'au bout en 2006, j'aurais certainement pas posé la question aujourd'hui... )

merci bien

[invitee2a279ac]

Soit P une proposition. La démonstration par récurrence consiste à démontrer qu'une proposition est vraie à partir d'un certain entier. Elle se fait en deux étapes :

1) La première étape est l'initialisation. Elle consiste à montrer que la proposition est vrai pour n₀ qui est le plus petit entier vérifiant la proposition (c'est généralement 0, 1 ou 2).

2) La seconde étape est l'hérédité. Dans cette étape, il faut supposer que la proposition P est vraie pour un et en déduire qu'alors elle est vraie pour n + 1.
Ceci ce note généralement

De ce deux étapes tu en arrives à la conclusion que la proposition P est vraie

Pour illustrer ce que je viens de dire, voici la solution rédigée de la récurrence proposée :

Démontrons par récurrence que ,

1) Initialisation.
(Comme on donne , on commence à n = 2)
Pour n = 2, 1 + 2 = 3 et
Donc la proposition est vraie pour n = 2.

2) Hérédité
On suppose que pour un ,
On doit donc démontrer que si la proposition est vraie pour n, alors elle est vraie pour n + 1.
On considère donc la somme :

Or par hypothèse de récurrence, donc :
= = = .
Donc si la proposition est vraie pour un alors elle est vraie pour n + 1.

Conclusion : ,



J'éspère avoir été assez claire (dans le cas contraire tu peux toujours demander s'il y a quelque chose que tu ne comprends pas)
Sh0nty

[hhh86]

Une récurrence sur une démonstration si simple alors qu'il suffit d'inverser les bornes ^^

[invitee2a279ac]

Bonjour hhh86,

évidemment c'est plus simple comme ça, mais si l'énoncé demande une démonstration par récurrence, autant la faire par récurrence...
Et puis faire une récurrence sur une démonstration simple permet de mieux comprendre le principe de la démonstration par récurrence, ce qui n'est pas négligeable...

Sh0nty

[hhh86]

Bonjour hhh86,

évidemment c'est plus simple comme ça, mais si l'énoncé demande une démonstration par récurrence, autant la faire par récurrence...
Et puis faire une récurrence sur une démonstration simple permet de mieux comprendre le principe de la démonstration par récurrence, ce qui n'est pas négligeable...

Sh0nty

Oui je sais ^^