Nombres complexes

[invite621a8f3c]

Bonjour,

J'aimerais savoir comment déterminer l'ensemble des points M tel que arg(z+i) = pi
et l'ensemble des points M tel que arg (1/iz) = pi

Merci d'avance.
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[Jeanpaul]

Si l'argument de (z+i) vaut pi, c'est que z+i vaut r exp(i pi) où r est un réel positif
Pour la seconde question : que vaut l'argument de l'inverse d'un nombre ?

[invite621a8f3c]

Bonjour

arg(1/iz) = arg(1) - arg(iz)
= 0 - arg(i) - arg(z)

Donc arg(1/iz) = -arg(i) - arg(z) soit arg(z) = -arg(i) - arg(1/iz)

or arg(i) = pi/2 et on sait que arg(1/iz) = pi

Donc arg(z) = -pi/2 - pi soit arg(z) = -3pi/2

L'ensemble des points M tel que arg(1/iz) = pi est l'ensemble des points située sur l'axe des ordonnées uniquement la partie positive.

En revanche pour arg(z+i ) = r exp(i pi) je ne vois pas comment je peux représenter cela graphiquement ? :/

[Jeanpaul]

Le 1er résultat est juste quoique un peu alambiqué. Il suffit de dire que si arg(1/iz) = pi c'est que 1/iz = -p où p est un réel positif donc z = i/p et ta conclusion.
Pour l'autre, c'est pareil :
z + i = - p avec p réel positif, alors, combien vaut z et où est le point ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite621a8f3c]

Il y a un problème je pense, "pi" est le nombre pi qui vaut 3,14.....
Ce n'est pas un nombre complexe, donc pourquoi si arg(z+i) = pi on a z+i = -p avec p réel positif ? je ne vois pas.

Dans ce cas z = -p-i ? mais je crois que vous avez pas compris ma notation de "pi" c'est ça ? ou c'est moi qui fait erreur et qui ne comprends pas ?

[Jeanpaul]

Ce n'est pas z+i qui vaut pi, c'est son argument, donc c'est un angle et, traditionnellement on l'exprime en radians. Dans le plan complexe, on voit qu'un complexe dont l'argument vaut pi est un nombre réel négatif.
On peut dire aussi, et c'est équivalent, que z+i = rho. exp(i pi) où rho est le module (positif ou nul) et i pi l'argument. On sait que exp( i pi)= -1 et on retombe sur ses pieds.