démonstration formule de Héron

[invitee9563338]

Bonjour,
à chacune de mes recherches de démonstration de la formule de Héron sur le net, j'ai eu comme résultat la démonstration qui se base sur le théorème d'Al Kashi. D'un point de vu historique j'ai du mal a comprendre. Ce que je voudrais c'est avoir la démonstration de Héron lui-même, voir celle, 2 ou 3 siècles auparavant, d'Archimède. Car je vois difficilement comment ces derniers auraient pu faire appel à un théorème qui n'apparaîtra qu'au 14eme siecle.

Donc ma question, comment Héron est-il arrivé à sa formule :
S²=p(p-a)(p-b)(p-c)

Merci d'avance, pour vos réponses.
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[invitec317278e]

La démonstration que tu cherches est géométrique, je te conseille alors de chercher "démonstration géométrique héron" sur google.

[invitea3eb043e]

Une manière simple : on projette B en H sur AC et on emploie le théorème de Pythagore dans BCH et on trouve que
a² = (b - AH)² + BH² = (b - AH²) + c² - AH²
et ça donne a² = b² + c² - 2 b.AH qui n'est évidemment rien d'autre qu'Al Kashi.
Ensuite l'aire est le demi-produit b.BH donc S² = b²(c² - AH²)/4
On élimine AH² entre les équations et on trouve l'équation de Héron.
On n'a jamais parlé de sinus, cosinus ou Al Kashi, seulement de Pythagore mais ça revient évidemment au même.

[invite57a1e779]

La formule de Héron était déjà conne par Archimède, la preuve originale est exposée dans ce document.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee9563338]

Merci, infiniment !

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