Nombres Complexes.

[invite9904cd8a]

Hello tous le monde.
J'ai besoin d'aide pour un exo qui me pose probléme.

Voilà l'énoncé :

Le plan complexe est rapporté au repére orthonormal direct (O, u, v)
On consiére le point A d'affixe 1 et, pour tout réel O(téta) de [O,2pi[, le point M d'affixe z = e^iO(téta) (et e = exponentielle).
On désigne P, le point d'affixe 1+z et par Q le point d'affixe z²

Tracer le repére.

1) Par quelles transfo.géométriques peut-on construire P et Q à partir de M ?

2) Determiner l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O, 2pi[. Tracer cet ensemble sur la figure.
3) Soit S le point d'affixe 1+z+z² où z est l'affixe du point M défini plus haut. Construire S en justifiant cette construction.

4) Dans le cas où S est différent de O, tracer la droite (OS). Quelle conjecture peut-on formuler relativement au point M ?

5) Démontrer que le nombre (1 +z+z²)/z est réel, quel que soit O(téta) appartenant à [O, 2pi[.
Interpréter géométriquement arg[(1 +z+z²)/z)], en déduire une demonstration de la propriété conjecturée.

Merci de m'aider, en y jettant un coup d'oeil
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[Flyingsquirrel]

Salut,

À quelles questions as-tu déjà répondu ? Quelles questions te posent problème ?

[invite9904cd8a]

Bonjour (et Bonne Année),

J'ai répondu à la premiére question, mais je suis bloquée à la deuxiéme question.

Merci de jeter un coup d'oeil.

[Flyingsquirrel]

Tu connais l'ensemble des points quand parcourt , n'est-ce pas ? Comme tu connais aussi la transformation géométrique qui transforme en , tu peux en déduire l'ensemble des points quand parcourt .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9904cd8a]

Pour l'ensemble des points M quand O(téta) décrit [O,2pi[, il s'gait de z=e^iO(téta) ?
Quant à la transformation, j'ai trouvé qu'il s'agissait d'une rotation ?

Ai-je tort ou non ?

[invite9904cd8a]

Je te remercie sincérement de prendre du temps pour me répondre.
Si ça ne te dérange pas, pourrais-tu regarder les autres questions, car elles me posent également de léger problémes.

Merci

[VegeTal]

Tu dois savoir ou tu vas apprendre dans très peu de temps que est l'écriture algébrique d'une rotation de centre d'affixe et d'angle donc je pense que tu as ta réponse.

[Flyingsquirrel]

Pour l'ensemble des points M quand O(téta) décrit [O,2pi[, il s'gait de z=e^iO(téta) ?

Non. Par « connaître l'ensemble des points tels que blablabla » j'entendais ceci : savoir si le lieu géométrique des points d'affixe ( appartenant à ) est un point, une droite, un carré, un cercle, un triangle, une étoile à 47 branches...

[invite9904cd8a]

Donc :

On sait que la transformation géométrique qui construit M en P est une rotation. J'en déduit alors que l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O,2pi[ est un cercle de centre M d'affixe z² et de rayon pi/6.

Ai-je bon ?

Pour la quatriéme question, on remarque que l'affixe du point S est en quelque sorte, l'addition des affixes de P et M.
Peut-on expliquer la construction du point S avec la relation de Chasles ?


Merci.

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" Chaque instant de la vie est un pas vers la mort." Corneille

[Flyingsquirrel]

On sait que la transformation géométrique qui construit M en P est une rotation. J'en déduit alors que l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O,2pi[ est un cercle de centre M d'affixe z² et de rayon pi/6.

Ai-je bon ?

Non. Pour transformer le point (ou encore avec ) en le point (c'est-à-dire ) on fait une translation de vecteur , pas une rotation.

Maintenant, on cherche le lieu géométrique des points quand parcourt . Or on sait que chaque point est obtenu en translatant le point par le vecteur . Le lieu géométrique des points est donc obtenu en translatant le lieu géométrique des points par le vecteur . Or le lieu géométrique des points est le cercle trigonométrique. En le translatant par le vecteur on obtient le cercle de rayon 1 et de centre .

Pour la quatriéme question, on remarque que l'affixe du point S est en quelque sorte, l'addition des affixes de P et M.

L'affixe de est plutôt l'addition des affixes de et de .

Peut-on expliquer la construction du point S avec la relation de Chasles ?

Oui.