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Nombres Complexes.



  1. #1
    Chocolatsuisse

    Wink Nombres Complexes.


    ------

    Hello tous le monde.
    J'ai besoin d'aide pour un exo qui me pose probléme.

    Voilà l'énoncé :

    Le plan complexe est rapporté au repére orthonormal direct (O, u, v)
    On consiére le point A d'affixe 1 et, pour tout réel O(téta) de [O,2pi[, le point M d'affixe z = e^iO(téta) (et e = exponentielle).
    On désigne P, le point d'affixe 1+z et par Q le point d'affixe

    Tracer le repére.

    1) Par quelles transfo.géométriques peut-on construire P et Q à partir de M ?

    2) Determiner l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O, 2pi[. Tracer cet ensemble sur la figure.
    3) Soit S le point d'affixe 1+z+z² où z est l'affixe du point M défini plus haut. Construire S en justifiant cette construction.

    4) Dans le cas où S est différent de O, tracer la droite (OS). Quelle conjecture peut-on formuler relativement au point M ?

    5) Démontrer que le nombre (1 +z+z²)/z est réel, quel que soit O(téta) appartenant à [O, 2pi[.
    Interpréter géométriquement arg[(1 +z+z²)/z)], en déduire une demonstration de la propriété conjecturée.

    Merci de m'aider, en y jettant un coup d'oeil

    -----

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  3. #2
    Flyingsquirrel

    Re : Nombres Complexes.

    Salut,

    À quelles questions as-tu déjà répondu ? Quelles questions te posent problème ?

  4. #3
    Chocolatsuisse

    Re : Nombres Complexes.

    Bonjour (et Bonne Année),

    J'ai répondu à la premiére question, mais je suis bloquée à la deuxiéme question.

    Merci de jeter un coup d'oeil.

  5. #4
    Flyingsquirrel

    Re : Nombres Complexes.

    Tu connais l'ensemble des points quand parcourt , n'est-ce pas ? Comme tu connais aussi la transformation géométrique qui transforme en , tu peux en déduire l'ensemble des points quand parcourt .

  6. #5
    Chocolatsuisse

    Re : Nombres Complexes.

    Pour l'ensemble des points M quand O(téta) décrit [O,2pi[, il s'gait de z=e^iO(téta) ?
    Quant à la transformation, j'ai trouvé qu'il s'agissait d'une rotation ?

    Ai-je tort ou non ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Chocolatsuisse

    Re : Nombres Complexes.

    Je te remercie sincérement de prendre du temps pour me répondre.
    Si ça ne te dérange pas, pourrais-tu regarder les autres questions, car elles me posent également de léger problémes.

    Merci

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  10. #7
    VegeTal

    Re : Nombres Complexes.

    Tu dois savoir ou tu vas apprendre dans très peu de temps que est l'écriture algébrique d'une rotation de centre d'affixe et d'angle donc je pense que tu as ta réponse.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  11. #8
    Flyingsquirrel

    Re : Nombres Complexes.

    Citation Envoyé par Chocolatsuisse Voir le message
    Pour l'ensemble des points M quand O(téta) décrit [O,2pi[, il s'gait de z=e^iO(téta) ?
    Non. Par « connaître l'ensemble des points tels que blablabla » j'entendais ceci : savoir si le lieu géométrique des points d'affixe ( appartenant à ) est un point, une droite, un carré, un cercle, un triangle, une étoile à 47 branches...

  12. #9
    Chocolatsuisse

    Re : Nombres Complexes.

    Donc :

    On sait que la transformation géométrique qui construit M en P est une rotation. J'en déduit alors que l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O,2pi[ est un cercle de centre M d'affixe et de rayon pi/6.

    Ai-je bon ?

    Pour la quatriéme question, on remarque que l'affixe du point S est en quelque sorte, l'addition des affixes de P et M.
    Peut-on expliquer la construction du point S avec la relation de Chasles ?


    Merci.

    _______________

    " Chaque instant de la vie est un pas vers la mort." Corneille

  13. #10
    Flyingsquirrel

    Re : Nombres Complexes.

    Citation Envoyé par Chocolatsuisse Voir le message
    On sait que la transformation géométrique qui construit M en P est une rotation. J'en déduit alors que l'ensemble des points P lorsque O(téta) décrit [O,2pi[ est un cercle de centre M d'affixe et de rayon pi/6.

    Ai-je bon ?
    Non. Pour transformer le point (ou encore avec ) en le point (c'est-à-dire ) on fait une translation de vecteur , pas une rotation.

    Maintenant, on cherche le lieu géométrique des points quand parcourt . Or on sait que chaque point est obtenu en translatant le point par le vecteur . Le lieu géométrique des points est donc obtenu en translatant le lieu géométrique des points par le vecteur . Or le lieu géométrique des points est le cercle trigonométrique. En le translatant par le vecteur on obtient le cercle de rayon 1 et de centre .
    Citation Envoyé par Chocolatsuisse Voir le message
    Pour la quatriéme question, on remarque que l'affixe du point S est en quelque sorte, l'addition des affixes de P et M.
    L'affixe de est plutôt l'addition des affixes de et de .
    Citation Envoyé par Chocolatsuisse Voir le message
    Peut-on expliquer la construction du point S avec la relation de Chasles ?
    Oui.

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