Nombres complexes

[Gabriel]

Soit z et z' 2 nombres complexes de module = 1
IzI = 1 Iz'I = 1 et zz'#1
Est-ce que Z = (z+z') / (1+zz') est un Réel ?

J'ai posé z=x+iy et z'=x'+iy' mais j'arrive à une expression de Z très compliquée.
Merci de me donner des pistes.
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[invite5150dbce]

Soit z et z' 2 nombres complexes de module = 1
IzI = 1 Iz'I = 1 et zz'#1
Est-ce que Z = (z+z') / (1+zz') est un Réel ?

J'ai posé z=x+iy et z'=x'+iy' mais j'arrive à une expression de Z très compliquée.
Merci de me donner des pistes.

écris nous ta solution, elle n'est certainement pas si comliquée

[invitea3eb043e]

Effectivement si tu écris z=x + iy c'est très lourd de faire apparaître que le module de z vaut 1. Il vaut mieux l'écrire exp(ia) et ça va bien mieux.

[Gabriel]

Rectif dans l'énoncé : zz'#-1 (afin que le dénominateur ne soit pas nul

Losque j'utilise la forme (x+iy) j'arrive à ceci :

Z= R+iI avec R=partie réelle et I= partie imaginaire
Donc pour que Z soit un réel il faut que I=0

I=N/D avec N=Numérateur et D=Dénominateur

D=(1+xx'-yy')**2 + (xy'+x'y)**2 donc D toujours positif (ou =0 si x,y,x',y' =0)

N=y-(y**2) y'+y'-y(y'**2) -(x**2) y' -(x'**)y Donc pour que I=0 il faut que N=0 , c'est à dire que y et y' soient tous deux nuls.
Donc j'en conclue que Z n'est pas un réel , quel que soient x,x',y,y'

Lorsque j'utilise la forme exponentielle : z=m(a) avec m=module, a=argument
et z'=m'(a'), on a d'après l'énoncé : z=1(a) et z'=1(a')
z+z'=m"(a") avec m"=rac carré(x+x')**2 + (y+y')**2

zz'=mm'(a+a') = 1(a+a')

et 1+zz'=(1+xx'-yy')+i(xy'+x'y)

Je cale ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteace2f602]

Hello Gabriel,

Alors avant de se lancer dans le calcul, il faut avoir une petite idée de la méthode adéquate...

1) Il y'a une faute dans ton énoncé, z'z doit être différent de -1 et non pas de 1 car la variable Z est une fraction qui doit avoir un dénominateur non nul.


2) Il faut travailler sous la frome trigo:
On pose z=exp(i.x1) et z'=exp(i.x2) car les modules sont égaux à 1.
Avec x1 + x2 différent de Pi modulo 2Pi


Au dénominateur on a donc : 1+z'z=1+exp(i.(x1+x2))=exp(i.( x1+x2)/2).(exp(-i.(x1+x2)/2)+exp(i.(x1+x2)/2)=exp(i.(x1+x2)/2).2cos((x1+x2)/2)
Il s'agit de la formule d'Euler

Par suite:
Z=exp(-i.(x1+x2)/2).).(exp(i.(x1)+exp(i.(x2)) / 2cos((x1+x2)/2)
Après simplification et application de la formule d'Euler au numérateur on obtient: Z=cos((x1-x2)/2) / cos((x1+x2)/2)

Il s'agit bien d'un nombre réel!