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Nombres complexes



  1. #1
    Gabriel

    Arrow Nombres complexes


    ------

    Soit z et z' 2 nombres complexes de module = 1
    IzI = 1 Iz'I = 1 et zz'#1
    Est-ce que Z = (z+z') / (1+zz') est un Réel ?

    J'ai posé z=x+iy et z'=x'+iy' mais j'arrive à une expression de Z très compliquée.
    Merci de me donner des pistes.

    -----

  2. #2
    hhh86

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par Gabriel Voir le message
    Soit z et z' 2 nombres complexes de module = 1
    IzI = 1 Iz'I = 1 et zz'#1
    Est-ce que Z = (z+z') / (1+zz') est un Réel ?

    J'ai posé z=x+iy et z'=x'+iy' mais j'arrive à une expression de Z très compliquée.
    Merci de me donner des pistes.
    écris nous ta solution, elle n'est certainement pas si comliquée

  3. #3
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Effectivement si tu écris z=x + iy c'est très lourd de faire apparaître que le module de z vaut 1. Il vaut mieux l'écrire exp(ia) et ça va bien mieux.

  4. #4
    Gabriel

    Re : Nombres complexes

    Rectif dans l'énoncé : zz'#-1 (afin que le dénominateur ne soit pas nul

    Losque j'utilise la forme (x+iy) j'arrive à ceci :

    Z= R+iI avec R=partie réelle et I= partie imaginaire
    Donc pour que Z soit un réel il faut que I=0

    I=N/D avec N=Numérateur et D=Dénominateur

    D=(1+xx'-yy')**2 + (xy'+x'y)**2 donc D toujours positif (ou =0 si x,y,x',y' =0)

    N=y-(y**2) y'+y'-y(y'**2) -(x**2) y' -(x'**)y Donc pour que I=0 il faut que N=0 , c'est à dire que y et y' soient tous deux nuls.
    Donc j'en conclue que Z n'est pas un réel , quel que soient x,x',y,y'

    Lorsque j'utilise la forme exponentielle : z=m(a) avec m=module, a=argument
    et z'=m'(a'), on a d'après l'énoncé : z=1(a) et z'=1(a')
    z+z'=m"(a") avec m"=rac carré(x+x')**2 + (y+y')**2

    zz'=mm'(a+a') = 1(a+a')

    et 1+zz'=(1+xx'-yy')+i(xy'+x'y)

    Je cale ...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Karym77

    Re : Nombres complexes

    Hello Gabriel,

    Alors avant de se lancer dans le calcul, il faut avoir une petite idée de la méthode adéquate...

    1) Il y'a une faute dans ton énoncé, z'z doit être différent de -1 et non pas de 1 car la variable Z est une fraction qui doit avoir un dénominateur non nul.


    2) Il faut travailler sous la frome trigo:
    On pose z=exp(i.x1) et z'=exp(i.x2) car les modules sont égaux à 1.
    Avec x1 + x2 différent de Pi modulo 2Pi


    Au dénominateur on a donc : 1+z'z=1+exp(i.(x1+x2))=exp(i.( x1+x2)/2).(exp(-i.(x1+x2)/2)+exp(i.(x1+x2)/2)=exp(i.(x1+x2)/2).2cos((x1+x2)/2)
    Il s'agit de la formule d'Euler

    Par suite:
    Z=exp(-i.(x1+x2)/2).).(exp(i.(x1)+exp(i.(x2)) / 2cos((x1+x2)/2)
    Après simplification et application de la formule d'Euler au numérateur on obtient: Z=cos((x1-x2)/2) / cos((x1+x2)/2)

    Il s'agit bien d'un nombre réel!

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