horribles suites...

[invite206cea37]

Bonjour,

J'ai vraiment besoin de vous pour cet exo sur les suites qui me fait mal à la tête !!!!

On considère la suite la suite u(n) définie par : u(1)=3/2 et u(n+1)=u(n)(1+1/2^(n+1) n>=1

a) Démontrer que pour tout n>=1, u(n)>0
voilà ce que j'ai fait :
1° étape : Démontrons la formule vraie pour n=1 :
cadire : 3/2(1+1/2^(n+2)=15/8 >0 hypothèse validée pour n=1.
2° étape : On suppose la formule vraie pour un entier n>=1 :
cadire : u(n)(1+1/2^(n+1)) (hypothèse de récurrence)
Démontrons alors la formule vraie pour n+1 :
u(n+1)(1+1/2^(n+2))>=0 (?)

Ensuite je me suis rendue compte que dans mon hypothèse de récurrence je mets u(n+1) au lieu de u(n) .... Vous comprenez mon probleme ? En gros ma démonstration est fausse à partir de ma deuxième étape... Mais j'ai pas le u(n) donc comme je dois faire ?
Au passage la première question de l'exo c'était d'étudier les variations de la fonction f(x)=ln(1+x)-x et g(x)=ln(1+x)-x+(x²/2)
Bon normalement il doit y avoir un rapport avec le fait que f(x) soit croissante et que donc je peux l'utiliser dans ma démonstration sur les suites... mais le probleme c'est que je ne trouve aucun rapport entre la suite que j'ai et f(x)

Merci de me répondre si vous avez une idée...
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[Flyingsquirrel]

Hello,

a) Démontrer que pour tout n>=1, u(n)>0
voilà ce que j'ai fait :
1° étape : Démontrons la formule vraie pour n=1 :
cadire : 3/2(1+1/2^(n+2)=15/8 >0 hypothèse validée pour n=1.

Là tu montres que alors que l'on te demande de montrer que pour tout entier , . Il faudrait donc initialiser la récurrence en prouvant que .

2° étape : On suppose la formule vraie pour un entier n>=1 :
cadire : u(n)(1+1/2^(n+1))>=0 (hypothèse de récurrence)
Démontrons alors la formule vraie pour n+1 :
u(n+1)(1+1/2^(n+2))>=0 (?)

Ensuite je me suis rendue compte que dans mon hypothèse de récurrence je mets u(n+1) au lieu de u(n) .... Vous comprenez mon probleme ? En gros ma démonstration est fausse à partir de ma deuxième étape... Mais j'ai pas le u(n) donc comme je dois faire ?

Je ne vois pas où est ton problème. Tu supposes qu'il existe un entier tel que (hypothèse de récurrence) et tu veux montrer que l'inégalité est vraie au rang suivant, c'est-à-dire que . Comme ça va tout seul, non ?

Au passage la première question de l'exo c'était d'étudier les variations de la fonction f(x)=ln(1+x)-x et g(x)=ln(1+x)-x+(x²/2)
Bon normalement il doit y avoir un rapport avec le fait que f(x) soit croissante et que donc je peux l'utiliser dans ma démonstration sur les suites... mais le probleme c'est que je ne trouve aucun rapport entre la suite que j'ai et f(x)

Je ne vois pas comment on peut se servir de ces fonctions pour répondre à la question. Peut-être qu'on les utilisera plus tard...

[invite206cea37]

Ok très bien merci bcp j'ai tout compri.
J'ai une autre question que j'ai rédigé sur pièce jointe et que je n'arrive pas à finir, merci d'y jeter un coup d'oeil !

[Flyingsquirrel]

Ce que tu as écrit pour l'initialisation et l'hérédité est correct mais j'ai un problème avec la démonstration de l'hérédité. Je ne comprends pas d'où sort la dernière ligne :

Ce qui me gène la dedans c'est le terme . Est-ce bien ce que tu voulais écrire ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite206cea37]

Beh en fait je crois que tu n'as pas fait assez attention à la fin de ma dernière ligne :
puisque j'ai mis le ln(u(n+1)) dans le membre de droite j'ai ajouté ln(1+1/2^n+1) et en recopiant tu as oublié de mettre dans le membre de droite ln(1+1/2^n).
En gros pour débuter ma démonstration je met mon hypothèse de récurrence dans laquelle je rajoute mes termes de u(n+1) des deux cotés...
Je sais pas si je suis claire...

[Flyingsquirrel]

Beh en fait je crois que tu n'as pas fait assez attention à la fin de ma dernière ligne :
puisque j'ai mis le ln(u(n+1)) dans le membre de droite j'ai ajouté ln(1+1/2^n+1) et en recopiant tu as oublié de mettre dans le membre de droite ln(1+1/2^n).

Si, j'ai vu ce terme mais par flemme je ne l'ai pas écrit, il est simplement caché dans les points de suspension.

En gros pour débuter ma démonstration je met mon hypothèse de récurrence dans laquelle je rajoute mes termes de u(n+1) des deux cotés...
Je sais pas si je suis claire...

Je ne comprends toujours pas comment tu as fait. Les termes et que tu ajoutes respectivement à gauche et à droite ne sont pas égaux...

Je pense que tu as oublié que tu peux aussi utiliser la définition de la suite : . Cette égalité doit te permettre d'exprimer en fonction de . Ensuite utilise l'hypothèse de récurrence...

[invite206cea37]

Bjr ok je crois avoir compri, mais j'ai une petite question :
est ce que dire que u(n+1)= u(n)(1+1/2^n+1) équivaut à dire que ln(u(n))=ln[u(n)(1+1/2^n+1)] ???

[Flyingsquirrel]

Presque, ça équivaut à dire que ln(u(n+1))=ln[u(n)(1+1/2^n+1)]...

[invite206cea37]

Ok impeccable c'était bien ce que j'avais marqué sur ma feuille mais j'ai fait une faute d'étourderie quand j'ai voulu l'écrire sur l'ordi...
merci bcp !!