dérivé 1er S x puissance n

[invitefcbfa8c4]

Bonjour,
j'ai un DM de maths où mon prof me demande de prouver que (x^n)'=nx^n-1
en cours on a fait des démos de (1/x)' avec f(a+h)-f(a)/h Je pense que mon prof veut qu'on fasse la même chose avec x^n
je trouve donc
(a+h)^n-a^n/h Mais je ne vois pas du tout comment réduire ça... j'ai essayé avec une identité remarquable:
[(a+h)^n-a^n][(a+h)^n+a^n]/h[(a+h)^n+a^n]
=(a+h)^n²-a^n²/h[(a+h)^n+a^n] Mais là pareil je suis coincé..
Merci de me donner une piste..
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[Arkangelsk]

Bonjour,

en cours on a fait des démos de (1/x)' avec f(a+h)-f(a)/h Je pense que mon prof veut qu'on fasse la même chose avec x^n

N'oublie pas que c'est la limite quand tend vers de qui donne le nombre dérivé .

PS : Tu peux ajouter les balises : ex : , ça fait plus joli .

[hhh86]

Bonjour,



N'oublie pas que c'est la limite quand tend vers de qui donne le nombre dérivé .

PS : Tu peux ajouter les balises : ex : , ça fait plus joli .

Oui
est appelé taux de variation de f entre a et a+h

[hhh86]

c'est difficile à démontrer en 1èreS, tu peux le faire avec la fonction ln et e mais tu ne les as pas vu

[A voir en vidéo sur Futura]

[God's Breath]

On dispose de l'identité .

[hhh86]

s'il ne l'a pas vu, il doit la démontrer, non ?

[invitefcbfa8c4]

oui je sais que c'est le taux de variation mais dans la leçon pour la démonstration de (1/x)' on a utilisé f(a+h)-f(a)/h et quand h tend vers 0 on trouve -1/x² c'est pour cela que je pensais qu'il fallait le faire de la même façon pour x puissance n
Mais si ça se trouve ce n'est pas ce que le prof attend de moi mais dans ce cas je ne vois comment justifier que la dérivée de x est nx

[hhh86]

La meilleure façon de le démontrer je pense, c'est de le faire par récurrance.
Tu supposes que ta propriété est vraie :
(x^n)'=nx^(n-1)

Ensuite tu calcules nx^(n-1)' :
nx^(n-1)=nx^n/x=x^n*n/x
On a donc [nx^(n-1)]'=[x^n*n/x]'
=[x^n]'*n/x+x^n*[n/x]'
=nx^(n-1)*n/x+x^n*[-n/x²]
=n²x^(n-2)-nx^(n-2)
=(n²-n)x^(n-2)
=n(n-1)x^(n-2)

Or nx^(n-1)'=n(n-1)x^(n-2) en appliquant cette formule en remplaçant n par n-1 : (x^n)'=nx^(n-1)'

La propriété est donc récurrente

[tuan]

Moi, je répète ce qui a été dit

On dispose de l'identité .

De plus en plus, je suis convaincu que beaucoup ne savent ni écouter ni lire les autres.
Qu'est ce que j'ai de mauvais poils ces temps-ci…!

[hhh86]

La meilleure façon de le démontrer je pense, c'est de le faire par récurrance.
Tu supposes que ta propriété est vraie :
(x^n)'=nx^(n-1)

Ensuite tu calcules nx^(n-1)' :
nx^(n-1)=nx^n/x=x^n*n/x
On a donc [nx^(n-1)]'=[x^n*n/x]'
=[x^n]'*n/x+x^n*[n/x]'
=nx^(n-1)*n/x+x^n*[-n/x²]
=n²x^(n-2)-nx^(n-2)
=(n²-n)x^(n-2)
=n(n-1)x^(n-2)

Or nx^(n-1)'=n(n-1)x^(n-2) en appliquant cette formule en remplaçant n par n-1 : (x^n)'=nx^(n-1)'

La propriété est donc récurrente

Sinon est-ce que vous pensez que cette méthode est à la portée d'un 1èreS ?

[God's Breath]

Sinon est-ce que vous pensez que cette méthode est à la portée d'un 1èreS ?

Je ne sache pas que la récurrence soit au programme de 1^èreS, mais je ne sais pas plus si la somme des termes d'une suite géométrique est censée être connue à ce niveau...

[tuan]

Démontrer a=b ou b=a , c'est du pareil au même. Dès qu'on commence à apprendre l'algèbre, on peut justifier toutes les identités remarquables

[hhh86]

Je ne sache pas que la récurrence soit au programme de 1^èreS, mais je ne sais pas plus si la somme des termes d'une suite géométrique est censée être connue à ce niveau...

Pour la récurrence je ne sais pas mais étant en premièreS, je peux t'affirmer que la somme des termes d'une suite géométrique est au programme mais ne se fait pas avant les dérivées

[invitefcbfa8c4]

On dispose de l'identité .

Je n'ai jamais vu cette identité remarquable... je ne peux donc pas l'utiliser..

[Arkangelsk]

Je n'ai jamais vu cette identité remarquable... je ne peux donc pas l'utiliser..

A mon avis, tu peux, il n'y a rien de "hors programme" : en développant le membre de droite, tu en déduis facilement le membre de gauche.