Triangle non isocèle est ... isocèle !

[invitea84d96f1]

Bonsoir.
J'attends d'abord que la figure jointe soit validée...
A tout de suite.
PS: ce n'est pas une demande d'aide.
-----

[invitea84d96f1]

Je reposte la figure, la 1^e a un petit défaut
Il est tard en fait !

[invitea84d96f1]

(Re)bonsoir,
Pour ceux qui ne la connaissent pas encore, je resors une vielle énigme de la géométrie.
A vous de donner une explication.
(Ne vous méprenez pas… je ne suis plus un jeune qui ai un exercice à rendre au prof. !)

1) J'ai un triangle ABC non isocèle en A, les angles à la base (B et C) ne sont donc pas égaux..
2) Je trace la bissectrice en A et la médiatrice de BC qui se coupent en un point M (elles ne sont pas confondues l'une sur l'autre comme dans le cas d'un triangle isocèle).
3) M étant un point de la bissectrice, les distances MI et MJ de M par rapport aux côtés de l'angle A sont égales (propriété de la bissectrice).
4) M étant un point de la médiatrice, les distances MB et MC sont égales (propriété de la médiatrice). Le triangle MBC est donc isocèle en M et on déduit les deux angles égaux B₁ = C₁
5) les triangles rectangles MBI et MCJ sont égaux parce qu'ils ont des côtés égaux chacun à chacun (normalement il suffit d'avoir 2 couples de côtés égaux… mais si vous voulez le 3e couple est aussi égal … par Pythagore). On en déduit les deux angles égaux B₂=C₂
6) B=B₁+B₂ et C=C₁+C₂.
Donc B=C
Donc le triangle ABC est isocèle en A !!!

Voyez-vous l'erreur quelque part ? la géométrie a-t-elle des faiblesses ?
Une piste: j'avais du mal à faire la figure jointe.

[invite93e0873f]

Bonsoir à tous,

Bon, voilà ma première occasion d'utiliser les balises spoiler

 Cliquez pour afficher

Soit O le point d'intersection de la bissectrice et du segment BC. D'après un certain théorème, on a que :

.

Par hypothèse, ABC n'étant pas isocèle, on peut poser (et c'est ce qui paraît sur les dessins) que AC<AB. De l'équation précédente, on en déduit que OC<OB . Autrement dit, la bissectrice croise le segment BC avant de croiser la médiane de ce segment, donc le point M ne se trouve pas à l'intérieur du triangle ABC. Le reste de l'argument ne peut donc pas tenir.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

[...]avant de croiser la médiane de ce segment[...]

Médiane.... Médiatrice bien sûr!

[invite2d4fd3af]

Bonjour!!!
De quel théorème tire t-on la relation OB/AB=OC/AC??

[shokin]

Par le théorème du sinus, on peut remarquer que :

x=OB/AB = sin(BAO)/sin(AOB)
y=OC/AC = sin(OAC)/sin(COA)

Donc

x/y = [sin(BAO)*sin(COA)]/[sin(AOB)*sin(OAC)]

Comme, BAO = OAC (par définition de la bissectrice),

x/y = sin(COA)/sin(AOB)

Comme COA et AOB sont deux angles supplémentaires, ils ont le même sinus.

Donc

x/y = 1 et x = y

Donc OB/AB = OC/AC.

[invitec8e03ff9]

pour que les deux triangles MIB et MJC soient isometriques il faut que les deux angles BMI et CMJ (de sommet M) soient isometriques qui n'est pas le cas donc votre démonstration est quasiment fausse