[1ère S] DM fonctions dérivées

[inviteb13b2bcd]

Bonjour à tous ! j'ai un dm à faire pour demain et j'ai quelques difficultés, j'espère que vous pourrez m'expliquer. Voici l'énoncé :

On considère la fonction f définie par f(x) = x²+2x-2/x-1

1) Déterminer l'ensemble de définition Df

2) Déterminer les réels a,b et c tels que f(x) = ax + b + c/x-1

3)
a. Préciser l'ensemble de dérivabilité de la fonction f puis calculer f'(x)
b. Dresser le tableau de signe f'(x) suivant les valeurs de x puis en déduire le tableau de variation de la fonction f

4) Préciser les extremums locaux de la fonction f

On nomme Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé (O;i;j)
On souhaite trouver un maximum d'informations pour tracer au mieux Cf

5)
a. Déterminer les coordonnés du ou des points d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées
b. Déterminer les coordonnés du ou des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses

6) Montrer que la courbe Cf admet Ω(1;4) pour centre de symétrie

7) Déterminer l'équation de la tangente T à Cf au point de la courbe d'abscisse 1/2

8) Tracer Cf, ses tangentes horizontales et la droite T dans une repère orthonormal (O;i;j). Placer les points trouver à la question 5

edit : je tiens à dire que j'ai répondu à la question 1) 3) a. je trouver f'(x) = x²-2x/(x-1)² puis après je ne vois pas comment faire, faut il faire Δ avec c = 0 ?
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[invite4f68d6a8]

faut que tu dises ce que t'arrive pas à faire!! on ne va pas tout de même te résoudre tout ton DM!!! dit nous à quel niveau tu bloques

[inviteec9de84d]

Salut,
je suppose que la fonction est


? (mets au moins des parenthèses sue tes quotients........)
Et c'est quoi tes difficultés exactement ? As-tu fais des questions ?

[inviteb13b2bcd]

Oui désolé j'ai édit mon message. je suis nouveau donc je ne sais pas mettre ma fonction sous forme d'image ...

j'ai répondu à la question 1) ainsi qu'a la 3) a. en trouvant f'(x) = x²-2x/(x-1)² j'ai fais Δ et trouvé deux racines mais mon tableau de signe et de variation me parrait louche.

Merci d'avance

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

en trouvant f'(x) = x²-2x/(x-1)² j'ai fais Δ et trouvé deux racines mais mon tableau de signe et de variation me parrait louche.

Déjà avant de te précipiter sur la grosse artillerie, regarde si tu peux pas factoriser ton expression (trivial ici). Ensuite, la 2) était là pour t'aider à dériver.

[inviteec9de84d]

2) Indication :


mets le 2nd membre sur le même dénominateur et identifie les réels a, b et c avec le membre de gauche...

[inviteb13b2bcd]

Merci lapin savant je fais mes calculs et je te dirais ce que je trouve

[inviteb13b2bcd]

Donc lapin pour la question 2) je trouve :

a = 1
b = 2
c = -2

mais je quasiment sur que ce n'est pas ça ...

Puis en factorisant f(x) = x(x+2)-2/x-1

Je me trompe ?

[inviteec9de84d]

En effet ce n'est pas ça (remplaces tes valeurs et tu verras bien).

t'as plus qu'à identifier....

Déjà avant de te précipiter sur la grosse artillerie, regarde si tu peux pas factoriser ton expression (trivial ici). Ensuite, la 2) était là pour t'aider à dériver.

je voulais parler de la dérivée (c'est ses zéros que tu cherches et non ceux de f).

[inviteb13b2bcd]

Ok alors dans ce cas :

2) a = 1 ; b = 3 et c = 1

Puis

3) f'(x) = x²-2x/(x-1)² cette dérivée est-elle juste ? Mais comment la factorisée ? je ne vois vraiment pas ..?!

[invite4f68d6a8]

en mettant sur un mm dénominateur ax+b+c/x+1 tu obtiens
x²+2x-2=ax²+(b-a)x-b+c avc tes deux dénominateurs ki s'annulent
donc par comparaison ta ax²=x² donc a=1
(b-a)x=2x donc b=3
-b+c=-2 donc c=1

puis garde la forme ax+b+c/x-1 tu remplacera biensur a b et c puis tu pourra faire ta dérivée facilement

bonne chance

[inviteec9de84d]

Ok alors dans ce cas :

2) a = 1 ; b = 3 et c = 1

ok,


tu dérives plutôt ça c'est hyper simple.

Puis

3) f'(x) = x²-2x/(x-1)² cette dérivée est-elle juste ? Mais comment la factorisée ? je ne vois vraiment pas ..?!

s'annule pour x=0 ou x=2

[inviteb13b2bcd]

Escusez moi mais lapin savant je n'ai pas très bien compris ... dans la consigne 3) on me demande de dérivée donc je dérive en appliquant la formule f' = u'v-v'u/v² et je trouve donc

jusque la j'avais correct je trouvais bien que s'annule pour x=0 et x=2

Alors pourquoi me vous me demandez de dérivé ??

en faisant mon tableau de signe et de variation je trouve que la fonction f est croissante sur - l'infini (désolé je n'ai pas le symbole) et 0 puis décroissant entre 0 et 2 et de nouveau croissante entre 2 et + l'infini. Mes extremums locaux sont donc 2 et 6 non ? Mais ce n'est pas logique dans le tableau.

[inviteb13b2bcd]

Up

(désolé si c'est interdit de relancer un post )

[inviteec9de84d]

Alors pourquoi me vous me demandez de dérivé ??

C'est EXACTEMENT la même fonction, mais dériver ce terme était beaucoup plus simple.

Normalement f' est correcte et tes variations également. Je ne vois pas ce que tu ne trouves pas logique ?


PS : tu peux me tutoyer

edit : effectivement les valeurs des extrema sont suspectes....

[invite4f68d6a8]

dis toi que si on te demande de trouver a b et c c'est pour orienter ton travail et te faciliter les calculs

la devirée que tu trouve reviens au même qu'avec celle de x+3+1/x+1
sauf quelle est déjà factorisée tu as donc f'(x)=1-1/(x-1)² tu as toujours les mm racines qui annulent ta dérivée et le signe est bien positif à l'extérieur des racines et négatif à l'intérieur

[inviteec9de84d]

Ok.

Attention! f n'est pas définie en 1 (et pas non plus dérivable) ! Tu as une irrégularité en ce point, que tu doit faire apparaître dans le tableau.

[inviteb13b2bcd]

Merci pour vos réponses, je vous demandais juste confirmation ...

Le domaine de définition de f, c'est bien Df = R-{1} donc aucun problème ici.

Non ?

[inviteec9de84d]

Merci pour vos réponses, je vous demandais juste confirmation ...

Le domaine de définition de f, c'est bien Df = R-{1} donc aucun problème ici.

Non ?

Oui. Et c'est pour ça que 2 est max local sur ]-inf,1[ et 6 min local sur ]1,+inf[ (tu as une discontinuité.....)

[inviteb13b2bcd]

Exact jusque là je suis ... merci

Mais quelle méthode faut-il adopter pour la question 5) a. et b. ? Il faut se servir de la calculatrice ..?!

[inviteec9de84d]

5)
a. Déterminer les coordonnés du ou des points d'intersection de Cf avec l'axe des ordonnées

f(0) = ?

b. Déterminer les coordonnés du ou des points d'intersection de Cf avec l'axe des abscisses

tu trouves les x tels que f(x) = 0

[inviteb13b2bcd]

f(0) = 2 d'après la question 4) ? dans ce cas par exemple un point A de coordonnés (0;2) ?

f(x) = 0 je ne comprend pas ..?!

[inviteec9de84d]

f(0) = 2 d'après la question 4) ? dans ce cas par exemple un point A de coordonnés (0;2) ?

Oui et c'est le seul (0 n'a qu'une image par f).

f(x) = 0 je ne comprend pas ..?!

ben tu résouds l'équation f(x)=0, ça te donnera l'abscisse du ou des points d'ordonnée nulle (càd se trouvant sur l'axe des abscisses).

[inviteb13b2bcd]

Ok merci bien ...

Je vais résoudre f(x)=0

[inviteb13b2bcd]

Pour f(x) = 0 j'ai trouvé :

S = {-1-√3;-1+√3} lapin savant tu es d'accord ..?! Donc là par exemple j'aurais un point B de coordonnés B(-1-√3;-1+√3) ?

[inviteec9de84d]

Pour f(x) = 0 j'ai trouvé :

S = {-1-√3;-1+√3} lapin savant tu es d'accord ..?! Donc là par exemple j'aurais un point B de coordonnés B(-1-√3;-1+√3) ?

J'ai pas vérifié ta solution, je te fais confiance. Par contre l'interprétation est fausse : tu trouves 2 abcsisses différentes, donc 2 points distincts B(-1-rac(3),0) et C(-1+rac(3),0). (je te rappeles que tu as trouvé les abscisses correspondantes à f(x)=0).

[inviteb13b2bcd]

Merci alors pour l'interprétation.

Pour la question 6)

La méthode la mieux est

- en effectuant un changement de repère.

ou

- en montrant que le symétrique de tout point de la courbe C par rapport au point O' appartient encore à C :
c'est à dire :
f(a - x) + f(a + x) = 2b pour tout réel x tel que a + x et a - x appartiennent à l'ensemble de définition de Df

Car je ne me rapelle pas d'avoir vu ça en cours, et sur cette question je suis complètement largué ...