Exercice Fonctions dérivées (1ère S)

[inviteedb554ed]

Bonsoir à tous!

Voici un exercice pas très compliqué sur les fonctions dérivées mais je ne suis pas très sûre de mes réponses et je bloque car ma courbe de correspond pas à ce que j'ai trouvé avant...
Pouvez-vous me corriger s'il-vous-plait ?

--------------------------------------------------------------------------

Voici l'énoncé :

Soit f la fonction définie sur R par f(x)= 3/4 x⁴ - x³ - 3x² +4 et soit Cf sa courbe représentative.

1. Etudier le sens de variation de f sur R.

2. Tracer Cf.

3. En déduire graphiquement le nombre de solution de l'équation 3/4 x⁴ - x³ - 3x² +4 =0 .

______________________________ ____________

Voici mes réponses :

1. J'ai calculée la dérivée de f(x) et j'ai : f '(x) = 3x³ - 3x² - 6x.
J'ai ensuite chercher les valeurs de x pour lequelles f '(x) s'annule. Pour cela, j'ai factorisé f '(x), ce qui fait :
f '(x) = x (3x²-3x-6) soit f '(x) = 3x²-3x-6
C'est un trinôme du second degrè donc :
3x²-3x-6 = 0 et delta= 9 - 4*3*(-6) = 81. Il y a donc 2 racines.
x' = 3-9 / 2*3 = -1
et x'' = 3+9 / 2*3 = 2
f '(x) s'annule donc J'ai ensuite fait le tableau de variation : pour x=1 et x= -2.

J'ai ensuite fait le tableau de variation :

f(-1) = 3/4*(-1)⁴ + 1³ - 3*(-1)² +4 = 11/4
f(2) = 3/4*2⁴ - 2³ - 3*2² +4 = - 4

Ainsi, entre x= - l'infini et x= -1, f '(x) est positive;
entre x= -1 et x=2, f '(x) est négative;
entre x=2 et x= + l'infini, f '(x) est positive.
et donc f(x) est croissante sur ] - l'infini ; 3/4 [ ; décroissante sur ]3/4 ; -4[ et croissante sur ]-4; + l'infini[.

2. Pour tracer Cf, j'ai calculé f(x) pour x= -4, x= -3...et etc jusqu'à x=4.
Le problème est que Cf est décroissante pour x= -4 jusqu'à x=1 et elle est ensuite croissante pour x=3...etc...
J'en conclu donc que je me suis trompée quelque part... Mais où ??

--------------------------------------------------------------------------

Enfin voilà... Je vous remercie d'avance pour vos réponses et votre aide !
-----

[invite1237a629]

Plop,

Décidément, c'est sympa avec toi, on n'a pas à trop cogiter, il suffit de voir où sont les erreurs

f '(x) = x (3x2-3x-6) soit f '(x) = 3x2-3x-6

Euh... "soit" signifierait donc que f'(x)=3x²-3x-6 ? Bin dis donc, depuis quand peut-on simplifier impunément une fonction par x ? ^^

Tu vois que x=0 annule la dérivée. Now, on étudie 3x²-3x-6
D'ailleurs, tu peux encore mettre en facteur 3, mais ton résultat est bon (enfin pour les racines...)

J'ai ensuite fait le tableau de variation :

f(-1) = 3/4*(-1)4 + 13 - 3*(-1)2 +4 = 11/4
f(2) = 3/4*24 - 23 - 3*22 +4 = - 4

Ainsi, entre x= - l'infini et x= -1, f '(x) est positive;
entre x= -1 et x=2, f '(x) est négative;
entre x=2 et x= + l'infini, f '(x) est positive.
et donc f(x) est croissante sur ] - l'infini ; 3/4 [ ; décroissante sur ]3/4 ; -4[ et croissante sur ]-4; + l'infini[.

Et le signe de x alors ? x n'est pas toujours positif !

Note g(x) = 3x²-3x-6
xg(x) n'est pas forcément du signe de g(x) ! (chose que tu as supposée pour ton tableau de variations, qui s'en trouve par conséquent faux)

f '(x)=3x(x²-x-2)


Et elle est là l'erreur

[Flyingsquirrel]

Salut

Attention aussi au passage du signe de f' aux variations de f : f est croissante/décroissante là où f' est positive/négative. (tu fais intervenir un 3/4 et un -4 qui sont douteux )

[inviteedb554ed]

Plop,

Décidément, c'est sympa avec toi, on n'a pas à trop cogiter, il suffit de voir où sont les erreurs

Ben tu sais... le but est surtout de voir où je me fais des erreurs !
D'ailleurs, tu es toujours là pour me répondre et m'apporter ton aide ! (mon niveau en maths est entrain d'augmenter... et c'est en grande partie grâce à toi... bref ! je m'égare ! =] Merci )

Donc du coup, j'ai fait une erreur en trouvant la dérivée de f...
Et mon raisonnement était bon ? Dois-je à nouveau chercher les valeurs de x pour lesquelles f '(x)=3x(x²-x-2) s'annule ? Pour ensuite étudier le signe de 3x(x²-x-2) ?

Ensuite lorsque l'on passe de la dérivée à la fonction, lorsque la dérivée est positive, la fonction est croissante n'est-ce pas ?

Attention aussi au passage du signe de f' aux variations de f : f est croissante/décroissante là où f' est positive/négative. (tu fais intervenir un 3/4 et un -4 qui sont douteux )

3/4 et -4 sont les réels pour lesquels f '(x) s'annule, c'est ce qu'on appelle les "extrenum locals" que f admet en -1 et 2.
Mais bon vu que je me suis trompée dans le calcul de la dérivée...

Merci à vous deux pour vos réponses !

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

3/4 et -4 sont les réels pour lesquels f '(x) s'annule, c'est ce qu'on appelle les "extrenum locals" que f admet en -1 et 2.

Oui, ce qui me gène c'est que tu écris (en admettant que ton étude de signe était correcte)

et donc f(x) est croissante sur ] - l'infini ; 3/4 [ ; décroissante sur ]3/4 ; -4[ et croissante sur ]-4; + l'infini[.

au lieu de

et donc f(x) est croissante sur ] - l'infini ; -1 [ ; décroissante sur ]-1 ; 2[ et croissante sur ]2; + l'infini[.

f' est positive sur donc f est croissante sur , les extremums locaux n'interviennent pas ici. (par contre ils apparaissent dans le tableau de variation)

Pour l'étude du signe de f', vu que c'est le produit de 3x et de x²-x-2, tu as déjà fait la (plus grosse) moitié du travail.

[inviteedb554ed]

bon je crois que j'ai trouvé! (en tout cas ça a l'air de fonctionner )

Donc puisque f '(x)= 3x(x²-x-2), f '(x) s'annule pour x=0, x=-1 et x=2.

Dans le tableau de variation, f '(x) est négative entre ] -l'infini ; -1[
positive entre ] -1 ; 0 [
négative entre ] 0 ; 2 [
positive entre ] 2 ; + l'infini [
D'après mon grafique, ça a l'air bon.

Merci à vous pour votre aide !