Exercice sur les fonctions trinôme , niveau 1ère S

[invitec3d54b1a]

Bonjour tout le monde !

J'ai un problème avec un exercice de mathématiques , voici son énoncé:

On considère 2 nombres réels a et b tels que a différent de b ; on pose s=a+b et p=ab.

1)Montrer qu'il existe une fonction trinôme f dont on exprimera les coefficients en fonction de s et p , qui admet pour racines les nombres a et b.

2) Application: Existe-t-il un rectangle ayant pour périmètre 16 cm et pour aire 8cm²?
Si oui , préciser la longueur de largeur de ce rectangle.

Merci d'avance à tous ceux qui se donneront la peine de répondre !

Même si ce problème est surement banal pour bon nombre d'entre vous !
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[inviteb85b19ce]

Salut,

Sous forme factorisée, est-ce que tu ne vois pas un trinôme simple dont a et b sont les racines?
Développe-le et tu verras apparaître s et p.

[invite52c52005]

Bonjour,

comme tu es nouveau sur le forum, un petit conseil : lis les règles du forum. Si tu veux de l'aide, il faut que tu nous montres que tu as cherché sur l'exercice. Montre-nous ce que tu sais déjà (suivant ton niveau, la réponse peut être différente car n'utilisant pas les mêmes outils), ce que tu as cherché, ce qui t'a bloqué, ... Et fais-le car sinon, si un modérateur passe par là, il peut fermer cette discussion.

Je te donne des pistes de réflexion.
Déjà, que sais tu de la résolution d'équations ? Comment expliciterais-tu ce qu'est un trinôme ? Comment traduirais-tu le fait que a et b sont racines du trinôme f ?
Tu vois, tu as déjà de quoi commencer.

[invitec3d54b1a]

Salut,

Sous forme factorisée, est-ce que tu ne vois pas un trinôme simple dont a et b sont les racines?
Développe-le et tu verras apparaître s et p.

Alors ,en cherchant, j'ai trouvé une piste qui peut être interressante:

s=a+b , donc a=s-b

on peut donc écrire :
p=(s-b)xb
p=sb-b²
p-sb-b²=0
b²-sb+p=0
donc:

f(x)=x²-sx+p a pour racine b

mais ensuite...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec3d54b1a]

Bonjour,

comme tu es nouveau sur le forum, un petit conseil : lis les règles du forum. Si tu veux de l'aide, il faut que tu nous montres que tu as cherché sur l'exercice. Montre-nous ce que tu sais déjà (suivant ton niveau, la réponse peut être différente car n'utilisant pas les mêmes outils), ce que tu as cherché, ce qui t'a bloqué, ... Et fais-le car sinon, si un modérateur passe par là, il peut fermer cette discussion.

Je te donne des pistes de réflexion.
Déjà, que sais tu de la résolution d'équations ? Comment expliciterais-tu ce qu'est un trinôme ? Comment traduirais-tu le fait que a et b sont racines du trinôme f ?
Tu vois, tu as déjà de quoi commencer.

Alors je connais déjà beaucoup de règles concernant les fonctions trinômes de type ax²+bx+c, je sais calculer leur forme canonique et leur discriminant , je sais aussi déterminer leurs racines : tout d'abord en déterminant le signe du discriminant , puis selon le signe , déterminer la (les) racine(s).

Donc dans un trinôme f de racines A et B , A= -b - racine carrée de delta / 2a et B= -b + racine carrée de delta/2a.

C'était pour situer mon niveau .

[inviteb85b19ce]

Eh bien, tu devrais t'en sortir assez rapidement alors...

Réfléchis à cette question : Comment traduirais-tu le fait que a et b sont racines du trinôme f ? (©Nissart)

[invite52c52005]

OK,

tu as trouvé un moyen d'exprimer que b est racine d'une équation du second degré. Remarque : la méthode que t'a suggéré Odie est plus simple.
Mais tu peux continuer sur ton idée, tu pourras vérifier, plus tard, avec la méthode d'Odie (©Odie ) que c'est équivalent.

Tu peux exprimer de la même manière que a est racine d'une équation du second degré.

[invitec3d54b1a]

OK,

tu as trouvé un moyen d'exprimer que b est racine d'une équation du second degré. Remarque : la méthode que t'a suggéré Odie est plus simple.
Mais tu peux continuer sur ton idée, tu pourras vérifier, plus tard, avec la méthode d'Odie (©Odie ) que c'est équivalent.

Tu peux exprimer de la même manière que a est racine d'une équation du second degré.

On peut écrire de même:

s=a+b
b=s-a

p=(s-a)*a
p=sa-a²
p-sa+a²=0

donc la fonction f(x)=x²-sx+p admet pour racines a et b

c'est ça la solution ? est-ce juste ?

[invitea3eb043e]

donc la fonction f(x)=x²-sx+p admet pour racines a et b

c'est ça la solution ? est-ce juste ?

Oui, c'est juste mais est-ce que cette équation admet toujours des racines ?

[invitec3d54b1a]

Oui, c'est juste mais est-ce que cette équation admet toujours des racines ?

si le discriminant est négatif , il n 'y a pas de solutions en R(nombres réels).

Je me trompe pas ?

[invitec3d54b1a]

En ce qui concerne le 2) , il faut trouver la relation entre l'aire et le périmètre ? J'ai beau chercher mais je trouve pas

[inviteb85b19ce]

Le périmètre est une somme et l'aire un produit... tu ne vois pas un rapport avec la première question?

[invitec3d54b1a]

Merci à tous , j'ai trouvé la solution de mon problème:

Soit a la largeur et b la longueur du rectangle.

Périmètre = 16 cm donc on doit avoir 2.(a+b)=16 c'est à dire a+b = 8.
Aire = 8 cm² donc on doit avoir a*b=8
D'après la question précédente, a et b doivent être solutions de l'équation : x²-Sx+P=0.
Avec S=8 et P=8
Donc a et b sont solutions de x²-8x+8=0

il reste qu'a trouver les solutions de cette équation qui sont
a=4-V2
b=4+V2

(V est racine carrée)

[inviteb85b19ce]

Petite erreur pour le calcul des racines, mais sinon le raisonnement est impeccable.

[invitec3d54b1a]

Petite erreur pour le calcul des racines, mais sinon le raisonnement est impeccable.

ah , je ne la vois pas cette erreur

[invite52c52005]

Odie a raison.
Quel est ton discriminant ?
Et comment calcules-tu tes racines ?

[invitea3eb043e]

Calcule donc a+b et a*b que tu viens de calculer et tu verras bien si c'est juste...

[invitec3d54b1a]

Odie a raison.
Quel est ton discriminant ?
Et comment calcules-tu tes racines ?

je viens de constater mon erreur

D(delta)= b²-4ac

=64-32
=32

D>0 , donc il y a deux racines

x1= 4-2V2 x2=4+2V2

[invite52c52005]

Ca, c'est mieux. Pense toujours à vérifier tes solutions en reportant dans l'équation et constater qu'elle est bien vérifiée. Ou en reportant dans ton problème et en testant si tu retrouves bien les périmètre et aire donnés.

[invitec3d54b1a]

Merci beaucoup ! d'ailleurs là j'ai un autre problème dont j'ai la réponse à un détail près , je vais ouvrir une autre discussion !