Dérivation 1ere S

[invite30a49b62]

Bonsoir,
J'ai un petit soucis mathématiques, j'espere que vous pourrez m'aider. J'ai donc cet exercice à faire :

On considère la fonction F définie sur R-{0} par : f(x)=1+1/x
1)Etudier la parité de la fonction f (là j'ai réussi)
2)Montrer que la fonction F admet un minimum sur l'intervalle ]0;+infini[
C'est ici que mes problèmes commencent : j'ai calculé la dérivée
f'(x)= 1-1/x²=(x²-1)/x²=[(x-1)(x+1)]/x²
mais ensuite je ne sais absolument pas comment faire .. faut-il faire un tableau de variation ? Oui, mais comment ?

3) Montrer que sur l'intervalle ]0;+infini[, la courbe associée à f est située au-dessus de la droite d'équation y=x
Idem, je ne sais pas du tout comment faire ..


Merci d'avance.
-----

[invitee3b6517d]

Bonsoir,
J'ai un petit soucis mathématiques, j'espere que vous pourrez m'aider. J'ai donc cet exercice à faire :

On considère la fonction F définie sur R-{0} par : f(x)=1+1/x
1)Etudier la parité de la fonction f (là j'ai réussi)
2)Montrer que la fonction F admet un minimum sur l'intervalle ]0;+infini[
C'est ici que mes problèmes commencent : j'ai calculé la dérivée
f'(x)= 1-1/x²=(x²-1)/x²=[(x-1)(x+1)]/x²
mais ensuite je ne sais absolument pas comment faire .. faut-il faire un tableau de variation ? Oui, mais comment ?

3) Montrer que sur l'intervalle ]0;+infini[, la courbe associée à f est située au-dessus de la droite d'équation y=x
Idem, je ne sais pas du tout comment faire ..


Merci d'avance.

Bonsoir,

dans ton calcul de dérivée, quelle est la dérivée de 1 ?

[invite890931c6]

Bonsoir,

1) tu as répondu quoi ??

2)ta dérivé n'est pas bonne ! la dérivé de 1 est 0.

en faite si ta fonction est bien je ne vois pas comment elle peut admettre un minimum !

3)en général pour étudier la position, on cherche le signe de la différence f(x)-x .

[invite30a49b62]

oups je me suis trompée en recopiant l'énoncé : la fonction n'est pas f(x)=1+1/x mais f(x)=x+1/x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30a49b62]

Pour le 1) j'ai répondu ceci :
* R est centré en zero
* f(-x)=-x-1/x
-f(x)=-(x+1/x)
=-x-1/x
f(-x)=-f(x) donc la fonction est impaire

[invite890931c6]

bon tu redérives la bonne fonction et tu résous . soit l'abscisse du point tel que . il faut que f' change de signe en pour qu'il y ait un minimum. sinon tu peux avoir le cas de la fonction qui a une dérivé qui s'annule en 0 mais pas de minimum.

3) suis mon conseil f(x)-x, regarde le signe de cette expression, c'est presque trop simple avec la bonne fonction

[invite7f422f99]

Tu t'es trompée dans la dérivée. f '(x) = -1/x²
Après, il faut que tu étudies le signe de la dérivée f' (x) = 0
pour ensuite étudier les variations de f ( courbe croissante pour f '(x)>0 et décroissante pour f '(x)<0)

[invite30a49b62]

pour la 3) si je suis ce que vous me dîtes :

f(x)-x=x+1/x-x=1/x
Or 1/x est tout le temps positive donc f(x) se situe au dessus de la droite d'équation y=x

Est-ce bien ça ?

[invite30a49b62]

Merci beaucoup, je pense avoir trouvé le résultat
2) f'(x)=O pour x=1
Après avoir construit le tableau de variation et trouver l'image de 1, je trouve que la fonction f admet un minimum 2 en x=1 sur ]0;+infini[


Il y a aussi une question 4) que je pensais trouver seule mais .. finalement non, je n'y arrive pas.
4)Soit a un réel tel que a>ou égal à 2
a)Montrer que, sur ]O;+infini[, l'équation f(x)=a est une équation du second degré qui possède au moins une solution
b)Déterminer, en fonction de a, les solutions de l'équation f(x)=a
c)Démontrer que pour tout a>2 les solutions sont strictement positives.

[invite890931c6]

ok pour la première partie. pense à montrer que ta fonction est décroissante puis croissante pour que x = 1 soit un minimum.

4) f(x) = a équivalent à à partir de là tu multiplies par x et tu passes de l'autre côté, le reste devrait ne pas te poser de problèmes.

[invite30a49b62]

Ah oui en efffet je n'avais pas vu ça comme ça =)
Je fais mes calculs et je vous fais part de mes résultats.