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1ere S dérivation-comportements asymptotiques.



  1. #1
    lelycéen76

    1ere S dérivation-comportements asymptotiques.


    ------

    Voila un DM pour demain (j'ai eu quelques problèmes)
    On considere la fonction F définie par :
    F(x)= (racine de (x²+1)) - x

    1) Justifier que la fonction f est dérivable sur R (réels).

    2) Déterminer sa limite en -infini.
    Peut-on déterminer directement sa limite en +infini?

    3) Montrer que, pour tout x>ou égal à 0, F(x)>0.

    4) Montrer que, pour tout x>ou égal à 0, on a:
    F(x) = 1/((racine de(x²+1))+x)

    5) En déduire, que pour tout x>ou égal à 0, on a :
    0<F(x)<1/(2x)

    6)Soit E (la letre grecque epsilon je crois) un nombre réel fixé strictement positif.
    Justifier qu'il existe un réel A tel que :
    si x appartient a [A ; +infini[, alors 0<F(x)<E(epsilon)
    Qu'en déduit-on?

    7)Démontrer que la fonction f est strictement décroissante sur R (réel).

    8) Dresser son tableau des variations et tracer sa curbe représentative dans un repère orthonormé d'unité graphique 1cm.

    Voila j'ai prouvé la 1-2 et 4-5.
    Il me manque la 3, 6, 7.
    Je pense que je pourrais me débouriller pour la 8.
    (Si vous voulez recopiez la 1-2-4-5, pas de problème si vous avez un cheminement a suivre)

    -----

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  4. #2
    lelycéen76

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    VOila ce que j'ai fait (désolé pour le double poste)

    1 : pour tout x >ou égal à 0, x²>ou égal à 0 => x²+1 >ou égal à 1.
    L'intérieur de la racine est donc positif pour tout réel x.
    Don Df = R (réel)

    2 : lim(-x) = +infini lim(racine de (x²+1)) = +infini
    x -> -infini x -> -infini

    car lim x² = +infini
    x -> -infini.

    Donc lim F(x) = +infini
    x -> -infini

    ET pour la suite il y a indétermination du type "+infini -infini"

  5. #3
    kNz

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Salut,

    Pour la 1, tu ne réponds pas à la question, on te demande sur quel intervalle elle est dérivable, pas défini

    A+

  6. #4
    lelycéen76

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Pouloulou faute d&énoncé recopier :
    1) Justifier que la fonction f est DEFINIE sur R.

    Pour la 6 j'ai une petite idée
    je vous cite les gdes lignes
    on sait que 1/2x>F(x)>0 d'après le 5
    donc 2x>ou égal à 2A <=> 1/2x<ou égal à 1/2A
    Or F(x)<1/2x donc F(x)<1/2A
    Donc pour tout E (epsilon), E=1/2A avec
    x appartient à [A ; +infini[

    Voilane en gros il me faudrait QUE LA 3 EN PRIORITE
    puis LA 7!!!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    phen

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Salut,

    pour la 3 ne cherche pas compliqué.
    Tu peux simplement montrer que ...
    En construisant l'inégalité progressivement.

  9. #6
    lelycéen76

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    C'est tout??
    Ca me parait trop facile pour un DM mais bon.
    Allez la 7 maintenant.

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  11. #7
    phen

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Oui c'est tout mais encore faut-il bien le justifier ...
    Méfie toi pour la 3) !
    Dans l'énoncé on te dit de prendre fixe. Puis de montrer qu'il existe A tel que pour tout x<A, .
    Or tu dis pour tout , avec . Tu sens bien qu'il y a un problème ... Tu ne peux pas dire Pour tout et ensuite choisir celui qui t'arrange ...
    L'idée est de fixer , puis de choisir A tel que (comme tu l'as justement fais remarquer) et d'arriver à l'inégalité qu'on te demande.

  12. #8
    lelycéen76

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Oki doki merci beaucoup.
    Puisque personne ne fait la 7 je vais me repencher dessus toute cette soirée
    Mais si vous avez des idées n'hésitez pas.
    phen

  13. #9
    danyvio

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Pour la 3, je dirais ceci :
    x> ou = 0

    En posant g(x) = f(x) * par un nombre positif, g(x) a le même signe que f(x) OK?
    Or racine(x2+1) + x est positif puisque x>= 0

    On pose g(x) = f(x) * racine(x2+1) +x = (racine(X2+1) - x ) x (racine (x2 + 1) + x)

    g(x) = x2+1 -x2 = 1
    g(x) est positif donc f(x) positif

  14. #10
    phen

    Re : 1ere S dérivation-comportements asymptotiques.

    Bon pour la 7,
    l'idée est comme d'habitude d'étudier la fonction f.
    Je suppose que tu regardes sa valeur en 0 et que tu montres que la fonction dérivée est négative sur R+. Mais le calcul ne doit pas être très simple. En le décomposant, et en t'y prenant avec méthode ca doit pouvoir se faire.

    Bon courage,
    a+
    Phen.

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