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Equation de droite passant par un vecteur



  1. #1
    mx6

    Equation de droite passant par un vecteur


    ------

    Bonsoir ,
    Je dois démontrer que deux droites sont perpendiculaires, pour cela je connais deux méthodes :
    - Produit scalaire des vecteurs directeurs vaut 0.
    - Produit de leurs coefficients directeurs vaut -1.

    J'ai un point de cordonnées , M étant l'extremum d'une courbe, et j'ai le point .

    Je dois démontrer que la tangente passant par M, et la droite passant par AM sont perpendiculaires.

    La tangente passant par M, est horizontale, d'équation .
    Et la droite passant par A et M je n'arrive pas à l'exprimer clairement, avec la méthode des produits scalaires, je ne tombe pas sur 0.

    -----

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  3. #2
    lapin savant

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    J'ai un point de cordonnées , M étant l'extremum d'une courbe [...]
    La tangente passant par M, est horizontale, d'équation .
    Juste comme ça, es-tu sûr de l'équation de la tangente? Etant donné qu'elle est horizontale, je pencherais pour (M est un extremum).

  4. #3
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C d'équation .

    A est un point n'appartenant pas à la courbe, le but de l'exercice c'est de déterminer la distance AM.

  5. #4
    lapin savant

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Equation de la droite (AM) :
    soit un point de la droite. Alors les vecteurs et sont colinéaire, i.e. leur déterminant est nul


    d'où

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    lapin savant

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C
    Justement, si M(x0,y0), et tu dis que la tangente est horizontale, alors son équation est bien et non y=x0.

  8. #6
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Je connaissais pas cette technique , merci beaucoup !

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  10. #7
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui j'ai bien précisé que M est un extermum ! C'est le point correpondant au minimum de la courbe C d'équation .

    A est un point n'appartenant pas à la courbe, le but de l'exercice c'est de déterminer la distance AM.
    C'est curieux : comme a pour coordonnées , je verrais bien de coordonnées un point de la courbe représentative de ; auquel cas la distance de à serait , le problème étant de trouver le point de le plus proche de .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Oui je me suis trompé! c'est bien cela ce que t'as dit God's Breath !!
    J'ai confondu deux parties quand j'écrivais ^^
    Tu m'étonneras toujours

  12. #9
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Autre méthode: Il suffit de démontrer que la fonction f atteint son minimum en 1, mais comment ?
    Pour la dérivé elle est de signe de [TEX]e^{-x}-e^{-2x}+x-1[\TEX]

  13. #10
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Autre méthode: Il suffit de démontrer que la fonction f atteint son minimum en 1, mais comment ?
    Tu confonds tout !!!

    Le point est caractérisé comme réalisant le minimum de la fonction . On a donc, au point , .
    Mais il se déplace sur la courbe qui représente la fonction . La tangente dont il est question est la tangente en à , dont la pente est .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #11
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Un petit dessin
    Images attachées Images attachées  
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  15. #12
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    J'attend la validation de l'image ! Car assez compliqué à comprendre

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  17. #13
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    L'image est validée.

    La tangente, c'est la tangente au graphe de .
    La fonction dont on détermine le minimum fournit la valeur de la distance , mais sa représentation graphique (assez compliquée au demeurant) n'intervient pas géométriquement dans le problème. Sa dérivée ne sert qu'à caractériser algébriquement le point qui réalise la distance minimale.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  18. #14
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Oui merci beaucoup, je comprend mieux l'énoncé, mais comment puis je démontrer que les deux droites sont perpendiculaires ??

  19. #15
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Le point est de coordonnées et le point est de coordonnées : tu peux calculer le coefficient directeur de la droite .
    La tangente en au graphe de a pour coefficient directeur .
    Tu peux donc calculer le produit des coefficients directeurs.
    Tu sais que le point réalise le minimum de , donc que .
    En utilisant cette dernière équation, tu dois pouvoir prouver que .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  20. #16
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    alors si j'ai bien saisi :
    Soit le coeff directeur de la droite .
    Donc .

    celui de la tangente à M, donc .

    Mais je ne trouve pas

    Oups je viens de relire ton post, je vais voir comment arranger cela, attend mon prochain post!

  21. #17
    mx6

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    Voilà problème résolu, bel exercice quand même

    Alors
    De plus équivaut à

    Par suite

    Merci pour cet aide !

  22. #18
    God's Breath

    Re : Equation de droite passant par un vecteur

    C'est ça !!
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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