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1ère S : Tangentes à la parabole



  1. #1
    Chopper

    1ère S : Tangentes à la parabole


    ------

    Bonjour.

    J'ai un peu de mal avec un exercice, donc j'aimerais de l'aide si possible.

    Dans un repère orthonormal (O ; i ; j), on note Cf la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = x²/4 et F est le point de coordonnées (0 ; 1). On appelle Dm la droite passant par F et de coefficient directeur m, où m est un réel quelconque. Dm coupe Cf en M1 et M2. Les tangentes à Cf en M1 et M2 se coupent en I.

    a) Démontrer que Dm a pour équation y = mx + 1
    Je l'ai fait.

    b) Soit M (x ; y) un point d'intersection de Cf et Dm.
    Montrer que x est solution de l'équation x² - 4mx - 4 = 0.
    Il y a-t-il toujours deux points d'intersection ? On appelle x1 et x2 les abscisses respectives de M1 et M2. Calculer x1 et x2.
    Je suis donc partie de mx + 1 = x²/4.
    Je suis bien arrivée à l'équation x² - 4mx - 4 = 0.
    J'ai calculé le discriminant, qui est égal à 16(m²+1). Il est toujours positif car m² est toujours possitif, donc il y a deux solutions.
    Pour x1, j'ai trouvé qu'il est égal à 2m - 2√(m²+1) et x2 = 2m + 2√(m²+1).

    c) Déterminer, en fonction de x et x1, une équation de T1. (Idem pour T2 en fonction de x et x2).
    J'ai trouvé (T1) : y = (x1*x)/2 - x1²/4 et (T2) : y = (x12*x)/2 - x2²/4.

    d) En déduire que le point I a pour coordonnées ( (x1+x2)/2 ; (x1*x2)/4).
    Démontrer que I est sur la droite d'équation y = -1.
    Le point d'intersection a pour coordonnées: I(x;y) avec x tel que x1x/2 -x1²/4 = x2x/2 - x2²/4.
    C'est-à-dire: (x1-x2)x/2 = (1/4)*(x1²-x2²)
    (x1-x2)x/2 = (1/4)*(x1-x2)(x1+x2)
    donc x = (x1+x2)/2
    Son ordonnée vaut alors: (x1/2)*(x1+x2)/2 -x1²/4 = x1²/4 + x1x2/4 - x1²/4 = (x1x2)/4
    Donc I((x1+x2)/2 ; (x1x2)/4).
    Je n'ai pas réussi à démontrer que I est sur la droite y = -1.

    e) Pour I (4 ; -1), quelle est la valeur de m correspondant ?
    Je n'y suis pas arrivé non plus ...

    Merci beaucoup d'avance.

    -----

  2. #2
    Flyingsquirrel

    Re : 1ère S : Tangentes à la parabole

    Salut,
    Citation Envoyé par Chopper Voir le message
    Dans un repère orthonormal (O ; i ; j), on note Cf la courbe représentative de la fonction f définie sur R par f(x) = x²/4 et F est le point de coordonnées (0 ; 1). On appelle Dm la droite passant par F et de coefficient directeur m, où m est un réel quelconque. Dm coupe Cf en M1 et M2. Les tangentes à Cf en M1 et M2 se coupent en I.

    a) Démontrer que Dm a pour équation y = mx + 1
    Je l'ai fait.

    b) Soit M (x ; y) un point d'intersection de Cf et Dm.
    Montrer que x est solution de l'équation x² - 4mx - 4 = 0.
    Il y a-t-il toujours deux points d'intersection ? On appelle x1 et x2 les abscisses respectives de M1 et M2. Calculer x1 et x2.
    Je suis donc partie de mx + 1 = x²/4.
    Je suis bien arrivée à l'équation x² - 4mx - 4 = 0.
    J'ai calculé le discriminant, qui est égal à 16(m²+1). Il est toujours positif car m² est toujours possitif, donc il y a deux solutions.
    Pour x1, j'ai trouvé qu'il est égal à 2m - 2√(m²+1) et x2 = 2m + 2√(m²+1).

    c) Déterminer, en fonction de x et x1, une équation de T1. (Idem pour T2 en fonction de x et x2).
    J'ai trouvé (T1) : y = (x1*x)/2 - x1²/4 et (T2) : y = (x12*x)/2 - x2²/4.
    D'accord.
    Citation Envoyé par Chopper Voir le message
    d) En déduire que le point I a pour coordonnées ( (x1+x2)/2 ; (x1*x2)/4).
    Démontrer que I est sur la droite d'équation y = -1.
    Le point d'intersection a pour coordonnées: I(x;y) avec x tel que x1x/2 -x1²/4 = x2x/2 - x2²/4.
    C'est-à-dire: (x1-x2)x/2 = (1/4)*(x1²-x2²)
    (x1-x2)x/2 = (1/4)*(x1-x2)(x1+x2)
    donc x = (x1+x2)/2
    Pense à préciser que l'on a le droit de diviser par car ce terme est non nul.
    Citation Envoyé par Chopper Voir le message
    Son ordonnée vaut alors: (x1/2)*(x1+x2)/2 -x1²/4 = x1²/4 + x1x2/4 - x1²/4 = (x1x2)/4
    Donc I((x1+x2)/2 ; (x1x2)/4).
    Je n'ai pas réussi à démontrer que I est sur la droite y = -1.
    Et si tu te servais de la réponse à la question « b » pour calculer les coordonnées de ?
    Citation Envoyé par Chopper Voir le message
    e) Pour I (4 ; -1), quelle est la valeur de m correspondant ?
    Je n'y suis pas arrivé non plus ...
    Idem.

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