Exercice Bac : Probabilités, logarithme, optimisation

[invitea8cf3198]

Bonjour, j'ai un prolème avec cet exercice, je ne vois pas du tout comment il faut faire.

Enoncé :
Une proportion q d'une poulation est atteinte d'une maladie détctable par une analyse de sang. La proportion est donc indemne.
On souhaite analyser le sang de chaque personne de la population afin de détecter les individus atteint de cet maladie.
A : Une analyse individuelle
B : On mélange le sang de r personnew. Si l'analyse est négative, on arrête, si elle est positive, on procède alors à une analyse individuelle des r personnes, ce qui au total, nécessitera donc r + 1 analyses.
On veut déterminer en fonction de p la taille optimale des groupe de r personnes.

1) On note Xr le nombre d'analyses nécessaires pour un groupe de r personnes avec la méthode B.
Prouvez que

2) Prouvez que l'économie (algébrique) réalisée en regroupant les gens est, par personne,
Le problème qui nous occupe peut alors s'énoncer ainsi :
Déterminer r de telle sorte que soit positif et maximal.

3) a) Prouvez que lorsque p est dans l'intervalle [0;1], la proposition " et " équivaut à la préposition " "

b) Etudiez les variations de la fonction , puis prouvez que si p < 0,69, il n'y a pas de solution, et que si p ≥ 0,7, l'ensemble des solution est un intervalle borné de I.

4) Déterminez par un calcul approché, l'intervalle I et l'entier r maximal lorsque p = 0,9, puis lorsque p = 0,99.

merci
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[inviteec9de84d]

Salut,
1) exprime d'abord en sachant que les analyses individuelles sont indépendantes. Aide-toi d'un arbre si besoin est.

[inviteec9de84d]

exprime d'abord en sachant que les analyses individuelles sont indépendantes

Je vais préciser parce que c'est pas très clair.
Calcule d'abord . On suppose les analyses individuelles indépendantes d'une personne à l'autre.
C'est très simple si tu remarques que X_r ne prend que 2 valeurs différentes...

[invite35af11ef]

Il y a 1 analyse si r individus sont indemnes soit p^r

[A voir en vidéo sur Futura]