Géométrie avec des nombres complexes

[invite4b33ea0e]

Alors voilà, j'ai plusieurs exercices de maths à faire pendant les vacances et notamment un avec les nombres complexes. Jai réussi à faire les parties A et B mais la C me pose problème. Est-ce-quelqu'un peut m'aider ? (Les 3 parties sont indépendantes)

Enoncé

1) Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct(O,u,v). On pose a=3, b=5-2i et c=5+2i. On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives a, b et c.
Soit M un point d'affixe z du plan, distinct des points A et B.

a) Montrer que ABC est un triangle rectangle isocèle. (Pas de problème pour cette question)

b) Donner une interprétation géométrique de l'argument de (z-3)/(z-5+2i). (Je ne comprends pas le terme "interprétation géométrique")

c) Déterminer alors l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z-3)/(z-5+2i) soit un nombre réel strictement négatif.

2) Soit GAMMA le cercle circonscrit au triangle ABC et OMEGA le point d'affixe 2-i.

a) Déterminer l'affixe du centre E du cercle GAMMA (Je ne vois pas comment on peut calculer l'intersection de deux médiatrices)

b) Donner l'écriture complexe de la rotation r de centre OMEGA et d'angle -PI/2.

c) Déterminer l'image GAMMA' de GAMMA par la rotation r.

Voilà, j'espère que quelqu'un peut m'aider car je ne comprends rien.
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[invitebe08d051]

1)b)Une interprétation géométrique veut dire tout simplement que tu dois écrire ce que signifie l'argument de (z-3)/(z-5+21) géométriquement (indice: pense aux angles orientés)

[invite4b33ea0e]

Par exemple je peux dire que c'est un angle droit...?

[inviteec9de84d]

Par exemple je peux dire que c'est un angle droit...?

Par exemple...mais pas dans ce cas (triangle isocèle !).

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4b33ea0e]

oui je suis d'accord mais "interprétation géométrique" ça ne veut pas dire que je dois aussi donner une valeur à (bm,am) ? Parce-que si c'est le cas je ne vois pas comment je peux faire puisque je ne connais pas M.

[inviteec9de84d]

en effet, tu ne peux pas puisque M n'est pas fixe ! Il suffit de dire qu'il s'agit de cet angle.
Dans la question suivante, tu trouves des points M qui vérifient une certaine valeur de l'angle.

[invite4b33ea0e]

Mais comment je peux faire pour trouver des points M qui vérifient une certaine valeur de l'angle ? Je n'en ai aucune idée.

[inviteec9de84d]

c) Déterminer alors l'ensemble des points M d'affixe z tels que Z = (z-3)/(z-5+2i) soit un nombre réel strictement négatif.

b) arg(Z) est l'angle .

c) Quelle est la condition sur un nombre complexe Z pour que celui-ci soit réel ? Ensuite précise l'ensemble pour que Re(Z) <0.

[invite4b33ea0e]

Et bien pour qu'un nombre complexe soit réel il faut que sa partie imaginaire soit nulle.
Ensuite pour que Re(Z) <0, le réel z doit-être compris entre ]-oo;0[. Mais quel est le rapport avec la question b) ?

[inviteec9de84d]

Et bien pour qu'un nombre complexe soit réel il faut que sa partie imaginaire soit nulle.
Ensuite pour que Re(Z) <0, le réel z doit-être compris entre ]-oo;0[.

Ou alors que arg(Z) = 0 (mod).
Si de plus Z <0 (puisque Z est réel) alors l'incertitude disparait :
arg(Z) = (mod).

Mais quel est le rapport avec la question b) ?

Ben ça devrait être évident maintenant !

[invite4b33ea0e]

Ou alors que arg(Z) = 0 (mod PI).
Si de plus Z <0 (puisque Z est réel) alors l'incertitude disparait :
arg(Z) = (mod 2PI).

Je ne comprends pas du tout cela, pourquoi si z<0 l'incertitude disparaît ?

[invite4b33ea0e]

A oui ! Si, si j'ai compris ! On peut déduire cela avec le cercle trigonométrique notamment, non ?

Alors maintenant, l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z-3)/(z-5+2i) soit un nombre réel strictement négatif, est l'ensemble tel que arg(BM; AM) = PI (mod PI) ?

[inviteec9de84d]

Oui à une correction près :

l'ensemble des points M d'affixe z tels que (z-3)/(z-5+2i) soit un nombre réel strictement négatif, est l'ensemble tel que arg(BM; AM) = PI (mod 2PI) ?

[invite4b33ea0e]

Ok, merci.

Et est-ce-que vous pouvez m'aider pour la question 2)a) parce-qu'il me manque celle là pour finir.

Pour la b), j'ai fait :
z'- (2-i) = e^-iPI/2(z-(2-i))
z'- (2-i) = -i(z-(2-i))

Et pour la c) :
z'- (2-i) = -i(z-(2-i))
Normalement, je remplace z par la valeur de E mais comme je n'ai pas la a) je ne peux pas terminer.

Si vous pouvez m'aider, merci.

[invitec56065da]

salut,
ABC est un triangle rectangle en A donc le centre de Gamma est le milieu de BC (segment)
à+

[invite4b33ea0e]

A oui, exact. Et bien merci, je pense que je peux finir mon exercice.
Merci à tous.