Equation avec des nombres complexes
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Equation avec des nombres complexes



  1. #1
    Kanabeach1704

    Equation avec des nombres complexes


    ------

    Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis carrément dans le brouillard, pouvez-vous m'aidez.

    Enoncé

    On considère l'équation (E) z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4=0 où z désigne un nombre complexe.

    1)a) Montrer que (E) admet une solution réelle, notée z1. (il faut déterminer z1)

    b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexes z on ait : z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-z1)(z-2-2i)(az+b)

    2) Résoudre (E)

    Merci d'avance pour votre aide.

    -----

  2. #2
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Salut,
    1) a) Remplace z par z1 dans l'équation en tenant compte du fait que z1 est réel (partie imaginaire nulle...).

    b) Développe le membre de droite et identifie les coefficients de l'équation à ceux du membre de gauche.

    2) Facile !! (avec b)).
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  3. #3
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    Désolé mais je ne comprends pas du tout. Je ne vois pas comment remplacer z par z1 dans l'équation m'avance puisque je ne connais pas z1. L'équation sera toujours la même sauf qu'à côté du z il y aura 1.

    ???

  4. #4
    danyvio

    Re : équation avec des nombres complexes

    En développant, tu vas obtenir une équation avec une partie réelle, et une partie imaginaire du style :E= (du réel) + i multiplié par (quelque chose réel ). Pour que E soit réel, il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul !
    Exemple : pour que F=57+ i (w +4) soit réel, il faut que w+4 = 0 donc que w = -4.
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    J'ai suivi vos conseil mais ça ne va pas, je trouve z1=0
    Or 4 est différent de 0 => le membre de gauche n'est pas égale à celui de droite.

    ???
    Dernière modification par Kanabeach1704 ; 04/03/2009 à 18h08.

  7. #6
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    AH ! si j'ai réussi j'avais fait une erreur de signe pff.
    Je trouve z1=1, est-ce quelqu'un peut me le confirmer ?

  8. #7
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    Par la même occasion pouvez-vous m'aider pour faire la question 2 parce-que je galère vraiment, j'ai fait plein de calcul qui ne conduise à rien.
    Merci d'avance.

  9. #8
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    AH ! si j'ai réussi j'avais fait une erreur de signe pff.
    Je trouve z1=1, est-ce quelqu'un peut me le confirmer ?

    C'est juste.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  10. #9
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Par la même occasion pouvez-vous m'aider pour faire la question 2 parce-que je galère vraiment, j'ai fait plein de calcul qui ne conduise à rien.
    Merci d'avance.
    Développe le membre de droite et range les termes par puissances de z.
    Ecris-nous ton calcul.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  11. #10
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    (z-z1)(z-2-2i)(az+b)
    = (z²-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)
    = az^3-2az²-2aiz²-az²+2az+2aiz+bz²+2bz-2ibz-bz+2b+2ib

    Voilà ce que ça me donne.Ca fait un calcul immense et je ne vois pas du tout en quoi il ressemble à celui du membre de gauche.
    Si j'en déduis simplement que a=1, sans grande conviction.

  12. #11
    danyvio

    Re : équation avec des nombres complexes

    Deux nombre complexes égaux leurs parties réelles sont égales, et leurs parties imaginaires aussi.
    Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4
    On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !

  13. #12
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Citation Envoyé par danyvio Voir le message
    Deux nombre complexes égaux leurs parties réelles sont égales, et leurs parties imaginaires aussi.
    Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4
    Ou alors 2 polynômes à coefficients dans C, sont égaux ssi leurs coefficients sont tous égaux monôme à monôme.
    C'est équivalent.
    Dans ton cas, simplifie en :


    Par rapport à ce que t'as dit danyvio, tu obtiens 4 équations au lieu de 2. Mais c'est pareil.

    edit : tu devrais trouver a=1 et b=i-1, à confirmer.
    Dernière modification par lapin savant ; 04/03/2009 à 19h14.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  14. #13
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Il y avait une petite erreur ici :
    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    (z-z1)(z-2-2i)(az+b)
    = (z²-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)
    = az^3-2az²-2aiz²-az²+2az+2aiz+bz²-2bz-2ibz-bz+2b+2ib
    Ce qui donne (j'écris juste ce qui change) :


    mais comme le calcul de b peut se faire sans cette équation, le résultat donné au-dessus est bon.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  15. #14
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    ok ok. Merci pour votre aide, je vais essayer de finir avec ce que vous m'avez dit.

  16. #15
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    Je trouve la même chose que lapin savant, c'est-à-dire a=1 et b=i-1.
    Pour trouver cela j'ai résolu :
    az^3=z^3
    a=1

    puis :

    2b(1+i)=-4
    b=-2/(1+i)
    b=(-2+2i)/2
    b=-1+i

    Je pense qu'il faut faire comme ça, mais je n'en suis pas sûre.

    Pour résoudre (E), il me reste simplement à remplacer a et b par leur valeur dans l'équation et je trouverai la solution, non ?

  17. #16
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Je trouve la même chose que lapin savant, c'est-à-dire a=1 et b=i-1.
    Pour trouver cela j'ai résolu :
    az^3=z^3
    a=1

    puis :

    2b(1+i)=-4
    b=-2/(1+i)
    b=(-2+2i)/2
    b=-1+i
    Ok.

    Citation Envoyé par Kanabeach1704 Voir le message
    Pour résoudre (E), il me reste simplement à remplacer a et b par leur valeur dans l'équation et je trouverai la solution, non ?


    ou

    ou
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  18. #17
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    Ok merci, c'est ce que j'avais fait mais je n'étais pas sûre. Mais je me pose une question, il y a 2 ou 3 solutions au final ? Dans l'énoncé z désigne un nombre complexe, mais est-ce-que 1 peut être considéré comme tel ?

  19. #18
    lapin savant

    Re : équation avec des nombres complexes

    Oui, 3 solutions complexes. N'oublie pas que R est inclut dans C...un réel est un complexe dont la partie imaginaire est nulle.
    "Et pourtant, elle tourne...", Galilée.

  20. #19
    Kanabeach1704

    Re : équation avec des nombres complexes

    D'accord. Merci beaucoup pour votre aide.

  21. #20
    invite6b2e4399

    Re : équation avec des nombres complexes

    Bonjour , pour cet exercice a la question 1 jai tout developpé et j'ai trouvé ;
    z1^3-(4+i)z²+(7+i)z1-4
    z1^3-4z1²+iz²+7z1+iz1-4
    (z1^3-4z1²+7z1)+i(z1²+z1-4)
    Mais je ne sais plus quoi faire apres , j'ai essayé de calculer le discriminant de la partie i mais je bloque a un certain moment .. Pouvez vous m'aider svp !

  22. #21
    invite6b2e4399

    Re : équation avec des nombres complexes

    Bonjour , pour cet exercice a la question 1 jai tout developpé et j'ai trouvé ;
    z1^3-(4+i)z²+(7+i)z1-4
    z1^3-4z1²+iz²+7z1+iz1-4
    (z1^3-4z1²+7z1)+i(z1²+z1-4)
    Mais je ne sais plus quoi faire apres , j'ai essayé de calculer le discriminant de la partie i mais je bloque a un certain moment .. Pouvez vous m'aider svp !

  23. #22
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : équation avec des nombres complexes

    Et ces calculs servent à quoi ?

    Tu ne sais pas lire ? A quoi sert le début de ce fil, si tu ne le lis pas ?????

  24. #23
    invite6b2e4399

    Re : équation avec des nombres complexes

    Pas la peine de le dire comme ca hein !
    Dans la conversation du dessus si tu regarde bien cest marqué que pour calculer z1 il faut montrer que la partie imaginaire est nulle , et donc en devellopant jai mis d'un coté les reel et de l'autre les imaginaires ! mais apres je suis bloqué ..

  25. #24
    gg0
    Animateur Mathématiques

    Re : équation avec des nombres complexes

    Mais c'est expliqué dans le début ...

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