Bonjour, j'ai un exercice à faire mais je suis carrément dans le brouillard, pouvez-vous m'aidez.
Enoncé
On considère l'équation (E) z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4=0 où z désigne un nombre complexe.
1)a) Montrer que (E) admet une solution réelle, notée z1. (il faut déterminer z1)
b) Déterminer les deux nombres complexes a et b tels que, pour tout nombre complexes z on ait : z^3 -(4+i)z² + (7+i)z - 4 = (z-z1)(z-2-2i)(az+b)
2) Résoudre (E)
Merci d'avance pour votre aide.
Salut,
1) a) Remplace z par z1 dans l'équation en tenant compte du fait que z1 est réel (partie imaginaire nulle...).
b) Développe le membre de droite et identifie les coefficients de l'équation à ceux du membre de gauche.
2) Facile !! (avec b)).
Désolé mais je ne comprends pas du tout. Je ne vois pas comment remplacer z par z1 dans l'équation m'avance puisque je ne connais pas z1. L'équation sera toujours la même sauf qu'à côté du z il y aura 1.
???
En développant, tu vas obtenir une équation avec une partie réelle, et une partie imaginaire du style :E= (du réel) + i multiplié par (quelque chose réel ). Pour que E soit réel, il faut que ce "quelque chose de réel") soit nul !
Exemple : pour que F=57+ i (w +4) soit réel, il faut que w+4 = 0 donc que w = -4.
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
J'ai suivi vos conseil mais ça ne va pas, je trouve z1=0
Or 4 est différent de 0 => le membre de gauche n'est pas égale à celui de droite.
???
AH ! si j'ai réussi j'avais fait une erreur de signe pff.
Je trouve z1=1, est-ce quelqu'un peut me le confirmer ?
Par la même occasion pouvez-vous m'aider pour faire la question 2 parce-que je galère vraiment, j'ai fait plein de calcul qui ne conduise à rien.
Merci d'avance.
Envoyé par Kanabeach1704
C'est juste.
Développe le membre de droite et range les termes par puissances de z.
Ecris-nous ton calcul.
(z-z1)(z-2-2i)(az+b)
= (z²-2z-2iz-z+2+2i)(az+b)
= az^3-2az²-2aiz²-az²+2az+2aiz+bz²+2bz-2ibz-bz+2b+2ib
Voilà ce que ça me donne.Ca fait un calcul immense et je ne vois pas du tout en quoi il ressemble à celui du membre de gauche.
Si j'en déduis simplement que a=1, sans grande conviction.
Deux nombre complexes égauxleurs parties réelles sont égales, et leurs parties imaginaires aussi.
Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4
On trouve des chercheurs qui cherchent ; on cherche des chercheurs qui trouvent !
Ou alors 2 polynômes à coefficients dans C, sont égaux ssi leurs coefficients sont tous égaux monôme à monôme.Deux nombre complexes égaux
Ex si on dit que R1 + iR2 = R3 +i R4, (les Rn étant des réels), alors R1=R3 et R2 = R4
C'est équivalent.
Dans ton cas, simplifie en :
Par rapport à ce que t'as dit danyvio, tu obtiens 4 équations au lieu de 2. Mais c'est pareil.
edit : tu devrais trouver a=1 et b=i-1, à confirmer.
Il y avait une petite erreur ici :
Ce qui donne (j'écris juste ce qui change) :
mais comme le calcul de b peut se faire sans cette équation, le résultat donné au-dessus est bon.
ok ok. Merci pour votre aide, je vais essayer de finir avec ce que vous m'avez dit.
Je trouve la même chose que lapin savant, c'est-à-dire a=1 et b=i-1.
Pour trouver cela j'ai résolu :
az^3=z^3
a=1
puis :
2b(1+i)=-4
b=-2/(1+i)
b=(-2+2i)/2
b=-1+i
Je pense qu'il faut faire comme ça, mais je n'en suis pas sûre.
Pour résoudre (E), il me reste simplement à remplacer a et b par leur valeur dans l'équation et je trouverai la solution, non ?
Ok.
ou
ou
Ok merci, c'est ce que j'avais fait mais je n'étais pas sûre. Mais je me pose une question, il y a 2 ou 3 solutions au final ? Dans l'énoncé z désigne un nombre complexe, mais est-ce-que 1 peut être considéré comme tel ?
Oui, 3 solutions complexes. N'oublie pas que R est inclut dans C...un réel est un complexe dont la partie imaginaire est nulle.
D'accord. Merci beaucoup pour votre aide.
Bonjour , pour cet exercice a la question 1 jai tout developpé et j'ai trouvé ;
z1^3-(4+i)z²+(7+i)z1-4
z1^3-4z1²+iz²+7z1+iz1-4
(z1^3-4z1²+7z1)+i(z1²+z1-4)
Mais je ne sais plus quoi faire apres , j'ai essayé de calculer le discriminant de la partie i mais je bloque a un certain moment .. Pouvez vous m'aider svp !
Bonjour , pour cet exercice a la question 1 jai tout developpé et j'ai trouvé ;
z1^3-(4+i)z²+(7+i)z1-4
z1^3-4z1²+iz²+7z1+iz1-4
(z1^3-4z1²+7z1)+i(z1²+z1-4)
Mais je ne sais plus quoi faire apres , j'ai essayé de calculer le discriminant de la partie i mais je bloque a un certain moment .. Pouvez vous m'aider svp !
Et ces calculs servent à quoi ?
Tu ne sais pas lire ? A quoi sert le début de ce fil, si tu ne le lis pas ?????
Pas la peine de le dire comme ca hein !
Dans la conversation du dessus si tu regarde bien cest marqué que pour calculer z1 il faut montrer que la partie imaginaire est nulle , et donc en devellopant jai mis d'un coté les reel et de l'autre les imaginaires ! mais apres je suis bloqué ..
Mais c'est expliqué dans le début ...
