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Résolution equation degré 3 avec nombres complexes



  1. #1
    Wed16

    Unhappy Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Bonjour

    Avant toute chose sachez que les mathématiques ne sont pas mon fort et en particulier les nombres complexes.
    Voici l'équation :
    f(z) = z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i

    Je dois montrer que f(z)=0 admet une racine imaginaire pure que je déterminerai. Puis résoudre dans C f(z)=0.

    Cela aurait été du second degré j'aurais pas eu de problèmes ou peu, mais lorsqu'il s'agit d'un degré 3, déjà je ne sais pas calculer le discriminant...
    Comment dois-je procéder ?

    Merci d'avance de votre aide

    -----


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  3. #2
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Bonjour
    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Comment dois-je procéder ?
    Savez-vous comment traduire "f(z)=0 admet une racine imaginaire pure" ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  4. #3
    ansset

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Bonjour

    Avant toute chose sachez que les mathématiques ne sont pas mon fort et en particulier les nombres complexes.
    Voici l'équation :
    f(z) = z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i

    Je dois montrer que f(z)=0 admet une racine imaginaire pure que je déterminerai. Puis résoudre dans C f(z)=0.

    Cela aurait été du second degré j'aurais pas eu de problèmes ou peu, mais lorsqu'il s'agit d'un degré 3, déjà je ne sais pas calculer le discriminant...
    Comment dois-je procéder ?

    Merci d'avance de votre aide
    bonjour, on te donne la piste.
    soit chercher x tel que z=xi et f(z)=0

    pour la suite f(x) =(z-xi)g(x), g étant du second degré

  5. #4
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Merci pour vos réponses.

    un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?

  6. #5
    ansset

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Merci pour vos réponses.

    un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?
    ben en général on ecrit z=x+iy c'est vrai ! mais ça ne change rien à la méthode

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?
    Oui, donc en remplaçant z par iy dans l'équation vous obtiendrez une équation dont l'inconnu est y qui est réel, il vous suffira alors de dire que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles en même temps, et l'une de ces deux équations sera particulièrement simple.
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

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  10. #7
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Oui, donc en remplaçant z par iy dans l'équation vous obtiendrez une équation dont l'inconnu est y qui est réel, il vous suffira alors de dire que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles en même temps, et l'une de ces deux équations sera particulièrement simple.
    J'ai remplacé dans mon équation z par iy, je trouve :

    (iy)3-(16-i)(ib)2+(89-16i)(ib)+89i=0
    Je distribue :
    -ib3+16b2-ib2+89ib+16b+89i=0

    Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...

  11. #8
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    -ib3+16b2-ib2+89ib+16b+89i=0

    Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...
    Oui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :
    X = 0
    et
    Y = 0

    Et je vous promets que ce sera simple
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  12. #9
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Oui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :
    X = 0
    et
    Y = 0

    Et je vous promets que ce sera simple
    Vous voulez dire
    (16b2+16b)+i(b3-b2+89b+89)= 0 ?

  13. #10
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Vous voulez dire
    (16b2+16b)+i(b3-b2+89b+89)= 0 ?
    oui ... Simple, non ?
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  14. #11
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    oui ... Simple, non ?
    Ce serait sympa d'écrire les exposants proprement (regardez les balises en haut à droite de l'éditeur)
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  15. #12
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ce serait sympa d'écrire les exposants proprement (regardez les balises en haut à droite de l'éditeur)
    Ha oui mince, je les aient oublié cette fois.

    J'ai calculé (16b2-16b)=0, je trouve -1 comme solution

    et là je suis entrain de calculer l'autre partie égale 0, puisqu'il a "une racine imaginaire pure" comme dis l'énoncé je dois tomber sur la même chose, non ?

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  17. #13
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Et si la réponse est bien -1, écris correctement la solution de la question est z=i^2 n'est pas ?

  18. #14
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    J'ai calculé (16b2-16b)=0, je trouve -1 comme solution
    Pas vraiment (il suffit de mettre 16b en facteur, et vous trouverez 2 solutions, dont vous devrez vérifier si elle sont aussi solution de l'équation avec la partie imaginaire (une seule va marcher).
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  19. #15
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Et si la réponse est bien -1, écris correctement la solution de la question est z=i^2 n'est pas ?
    Attention, vous ajoutez une erreur à une erreur, i² n'est pas un imaginaire pur !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  20. #16
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Pas vraiment (il suffit de mettre 16b en facteur, et vous trouverez 2 solutions, dont vous devrez vérifier si elle sont aussi solution de l'équation avec la partie imaginaire (une seule va marcher).
    Halala je suis vraiment une bille en maths ! Même pour les calculs les plus simples ^^
    Bon je teste sa et je vous dis, merci de votre aide en tout cas, c'est sympa de vous accrochez parce qu'avec moi on désespère vite...

  21. #17
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Bon cette fois je trouve soit b=0 soit b=-1/16

    Maintenant je remplace tour à tour dans l'équation initiale avec chacune de mes solutions et je vois laquelle marche...

  22. #18
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Je trouve que c'est lorsque b=0 que l'equation f(z)=0 est vérifiée.
    mais je vois pas en quoi c'est un imaginaire pur ?

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  24. #19
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Bon cette fois je trouve soit b=0
    Oui

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    soit b=-1/16
    Non

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Maintenant je remplace tour à tour dans l'équation initiale avec chacune de mes solutions et je vois laquelle marche...
    Non, cela marcherait, mais c'est plus simple dans la partie imaginaire pure.

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Je trouve que c'est lorsque b=0 que l'equation f(z)=0 est vérifiée.
    Il vaudrait mieux vérifier vos calculs
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  25. #20
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Oui

    Non

    Non, cela marcherait, mais c'est plus simple dans la partie imaginaire pure.

    Il vaudrait mieux vérifier vos calculs
    Haa correction, je trouve b=0 ou b=-1. Comment faire alors pour vérifier laquelle est bonne ? Je n'ai pas compris ce que vous m'avez expliquer...

  26. #21
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Haa correction, je trouve b=0 ou b=-1. Comment faire alors pour vérifier laquelle est bonne ? Je n'ai pas compris ce que vous m'avez expliquer...
    (16b2+16b) = 0 => b = 0 ou b = -1
    (b3-b2+89b+89)= 0

    Est-ce que b = 0 donne quelque chose de juste avec la deuxième équation ?
    Et b = -1 ?

    Si l'une des deux fonctionne alors je vous rappelle que vous avez posé z = ib !
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  27. #22
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    (16b2+16b) = 0 => b = 0 ou b = -1
    (b3-b2+89b+89)= 0

    Est-ce que b = 0 donne quelque chose de juste avec la deuxième équation ?
    Et b = -1 ?

    Si l'une des deux fonctionne alors je vous rappelle que vous avez posé z = ib !
    Je trouve que b=-1 est correcte avec la deuxième équation. donc la racine imaginaire pure de f(z)=0 est z=-i

    N'est ce pas ?

    haa ouf je sens enfin le bout venir

  28. #23
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Je trouve que b=-1 est correcte avec la deuxième équation. donc la racine imaginaire pure de f(z)=0 est z=-i

    N'est ce pas ?

    haa ouf je sens enfin le bout venir
    Ok,
    Le polynome de départ est donc de la forme (z + i)P(z), où p(z) est un polynome du 2nd degré, donc facile à résoudre ...
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  29. #24
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Ok,
    Le polynome de départ est donc de la forme (z + i)P(z), où p(z) est un polynome du 2nd degré, donc facile à résoudre ...
    Donc là je met en facteur (z+i) dans mon équation de départ (z3-(16-i)z2...etc), je trouve donc P(z) et je résous P(z)=0 ?

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  31. #25
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Donc là je met en facteur (z+i) dans mon équation de départ (z3-(16-i)z2...etc), je trouve donc P(z) et je résous P(z)=0 ?
    Tout simplement
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  32. #26
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Tout simplement
    Haa alors voici le résultat de ma factorisation :

    (z+i)(z2-16z+89)

    et je trouve comme solutions deux solutions complexes conjuguées :
    8+5i et 8-5i

    De plus dans la question suivante de mon exercice on me parle de "A, B et C les points images des racines" donc si j'ai bien compris les trois racines en questions sont -i, 8+5i et 8-5i

    n'est ce pas ?

  33. #27
    Médiat

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    Haa alors voici le résultat de ma factorisation :

    (z+i)(z2-16z+89)
    Cela me semble correct.

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    et je trouve comme solutions deux solutions complexes conjuguées :
    8+5i et 8-5i
    Toujours correct

    Citation Envoyé par Wed16 Voir le message
    De plus dans la question suivante de mon exercice on me parle de "A, B et C les points images des racines" donc si j'ai bien compris les trois racines en questions sont -i, 8+5i et 8-5i
    Oui.

    PS : méfiez-vous : je suis nul en calcul
    Je suis Charlie.
    J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse

  34. #28
    Wed16

    Re : Résolution equation degré 3 avec nombres complexes

    Citation Envoyé par Médiat Voir le message
    Cela me semble correct.

    Toujours correct

    Oui.

    PS : méfiez-vous : je suis nul en calcul
    Haa déjà avoir votre avis positif me rassure. Je vais vérifier avec une machine s'il le faut.
    Il me reste plus qu'a calculer des vecteurs entre ces points (ça normalement j'ai pas trop de problèmes) et mon exercice sera enfin fini !
    Merci vraiment beaucoup

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