Résolution equation degré 3 avec nombres complexes
Bonjour
Avant toute chose sachez que les mathématiques ne sont pas mon fort et en particulier les nombres complexes.
Voici l'équation :
f(z) = z3-(16-i)z2+(89-16i)z+89i
Je dois montrer que f(z)=0 admet une racine imaginaire pure que je déterminerai. Puis résoudre dans C f(z)=0.
Cela aurait été du second degré j'aurais pas eu de problèmes ou peu, mais lorsqu'il s'agit d'un degré 3, déjà je ne sais pas calculer le discriminant...
Comment dois-je procéder ?
Merci d'avance de votre aide
Bonjour
Savez-vous comment traduire "f(z)=0 admet une racine imaginaire pure" ?Envoyé par Wed16
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
bonjour, on te donne la piste.
soit chercher x tel que z=xi et f(z)=0
pour la suite f(x) =(z-xi)g(x), g étant du second degré
Merci pour vos réponses.
un imaginaire pur c'est lorsque z est sous la forme z=iy (donc x=0), n'est ce pas ?
ben en général on ecrit z=x+iy c'est vrai ! mais ça ne change rien à la méthode
Oui, donc en remplaçant z par iy dans l'équation vous obtiendrez une équation dont l'inconnu est y qui est réel, il vous suffira alors de dire que la partie réelle et la partie imaginaire doivent être nulles en même temps, et l'une de ces deux équations sera particulièrement simple.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
J'ai remplacé dans mon équation z par iy, je trouve :
(iy)3-(16-i)(ib)2+(89-16i)(ib)+89i=0
Je distribue :
-ib3+16b2-ib2+89ib+16b+89i=0
Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...
Oui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :-ib3+16b2-ib2+89ib+16b+89i=0
Me suis-je trompée ? Car je trouve sa pas si simple...
X = 0
et
Y = 0
Et je vous promets que ce sera simple
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Vous voulez direOui, mais cette fois l'inconnue (b) est un réel et non un complexe, donc si vous écrivez le membre de gauche sous la forme X + iY = 0, avec X et Y des réels, bien sur, cette équation sera équivalente à :
X = 0
et
Y = 0
Et je vous promets que ce sera simple
(16b2+16b)+i(b3-b2+89b+89)= 0 ?
oui ... Simple, non ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ce serait sympa d'écrire les exposants proprement (regardez les balises en haut à droite de l'éditeur)
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Ha oui mince, je les aient oublié cette fois.
J'ai calculé (16b2-16b)=0, je trouve -1 comme solution
et là je suis entrain de calculer l'autre partie égale 0, puisqu'il a "une racine imaginaire pure" comme dis l'énoncé je dois tomber sur la même chose, non ?
Et si la réponse est bien -1, écris correctement la solution de la question est z=i^2 n'est pas ?
Pas vraiment (il suffit de mettre 16b en facteur, et vous trouverez 2 solutions, dont vous devrez vérifier si elle sont aussi solution de l'équation avec la partie imaginaire (une seule va marcher).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Attention, vous ajoutez une erreur à une erreur, i² n'est pas un imaginaire pur !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Halala je suis vraiment une bille en maths ! Même pour les calculs les plus simples ^^
Bon je teste sa et je vous dis, merci de votre aide en tout cas, c'est sympa de vous accrochez parce qu'avec moi on désespère vite...
Bon cette fois je trouve soit b=0 soit b=-1/16
Maintenant je remplace tour à tour dans l'équation initiale avec chacune de mes solutions et je vois laquelle marche...
Je trouve que c'est lorsque b=0 que l'equation f(z)=0 est vérifiée.
mais je vois pas en quoi c'est un imaginaire pur ?
Oui
Non
Non, cela marcherait, mais c'est plus simple dans la partie imaginaire pure.
Il vaudrait mieux vérifier vos calculs
Je suis Charlie.
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Haa correction, je trouve b=0 ou b=-1. Comment faire alors pour vérifier laquelle est bonne ? Je n'ai pas compris ce que vous m'avez expliquer...Oui
Non
Non, cela marcherait, mais c'est plus simple dans la partie imaginaire pure.
Il vaudrait mieux vérifier vos calculs
(16b2+16b) = 0 => b = 0 ou b = -1
(b3-b2+89b+89)= 0
Est-ce que b = 0 donne quelque chose de juste avec la deuxième équation ?
Et b = -1 ?
Si l'une des deux fonctionne alors je vous rappelle que vous avez posé z = ib !
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je trouve que b=-1 est correcte avec la deuxième équation. donc la racine imaginaire pure de f(z)=0 est z=-i
N'est ce pas ?
haa ouf je sens enfin le bout venir
Ok,
Le polynome de départ est donc de la forme (z + i)P(z), où p(z) est un polynome du 2nd degré, donc facile à résoudre ...
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Donc là je met en facteur (z+i) dans mon équation de départ (z3-(16-i)z2...etc), je trouve donc P(z) et je résous P(z)=0 ?
Tout simplement
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Haa alors voici le résultat de ma factorisation :Tout simplement
(z+i)(z2-16z+89)
et je trouve comme solutions deux solutions complexes conjuguées :
8+5i et 8-5i
De plus dans la question suivante de mon exercice on me parle de "A, B et C les points images des racines" donc si j'ai bien compris les trois racines en questions sont -i, 8+5i et 8-5i
n'est ce pas ?
Cela me semble correct.
Toujours correct
Oui.
PS : méfiez-vous : je suis nul en calcul
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Haa déjà avoir votre avis positif me rassure. Je vais vérifier avec une machine s'il le faut.Cela me semble correct.
Toujours correct
Oui.
PS : méfiez-vous : je suis nul en calcul
Il me reste plus qu'a calculer des vecteurs entre ces points (ça normalement j'ai pas trop de problèmes) et mon exercice sera enfin fini !
Merci vraiment beaucoup
