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Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs



  1. #1
    Flyingsquirrel

    Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs


    ------

    Salut,

    Un petit problème sur les nombres entiers :
    Trouver tous les entiers naturels décomposables en une somme d'entiers naturels consécutifs.
    Par exemple 14=2+3+4+5 convient, 23=11+12 aussi mais 4=3+1=2+2 ne convient pas puisqu'il ne peut pas s'exprimer comme une somme d'entiers naturels consécutifs.

    Note : Il n'est pas nécessaire d'avoir des connaissances en arithmétique pour résoudre ce problème.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    fderwelt

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Bonjour,

    Petit problème amusant, et pas trop compliqué. Un entier qui est somme d'entiers consécutifs, disons de p entiers consécutifs à partir de n, s'écrit:
    N = n + (n+1) + ... + (n + p - 1)
    qui (somme d'une série arithmétique) vaut
    N = n.p + (0 + 1 + ... + (p-1))
    = n.p + p(p-1)/2
    Donc les entiers cherchés sont de cette forme. "Yapluka" faire parcourir à n et p toutes les valeurs possibles... Après je n'ai pas vraiment regardé s'il y a une forme plus simple ou plus agréable.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  4. #3
    -Zweig-

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Salut,

    Un autre problème du même genre

    Déterminer tous les entiers naturel tels que


  5. #4
    God's Breath

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Trouver tous les entiers naturels décomposables en une somme d'entiers naturels consécutifs.
    Il me semble que tout entier qui n'est pas une puissance de 2 admet une telle décomposition.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    -Zweig-

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Sinon pour l'exercice :

    On doit résoudre

    c'est-à-dire :
    ou encore :

    Si m est une puissance de 2, i.e, , alors il existe des entiers et tels que :





    C'est-à-dire, , impossible. Donc n'est pas une puissance de 2. Si n'est pas une puissance de 2, i.e, , avec impair, alors il est clair qu'il existe (au moins) un couple vérifiant l'équation puisque les deux facteurs sont de parité contraire, en prenant impair. Ainsi tous les entiers qui ne sont pas puissances de 2 sont solutions.

  8. #6
    -Zweig-

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Bon je n'ai pas pu modifier, mais au départ je voulais écrire : "On doit déterminer l'ensemble des entiers tel qu'il existe des entiers et vérifiant".

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  10. #7
    God's Breath

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    C'est-à-dire, , impossible.
    Il faut éliminer proprement le cas et

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    alors il est clair qu'il existe (au moins) un couple vérifiant l'équation puisque les deux facteurs sont de parité contraire, en prenant impair.
    Si , il me semble que la seule décomposition est , soit , et la claire solution avec impair m'échappe.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  11. #8
    -Zweig-

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Oui, je suis allé trop vite.

    On doit distinguer deux cas :

    Si , alors convient

    Si , alors convient

    Donc l'ensemble recherché est l'ensemble de tous les entiers naturels exceptés les puissances de 2.
    Dernière modification par -Zweig- ; 07/03/2009 à 15h34.

  12. #9
    tjou

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    J'ai suivi jusqu'ici. Je ne comprends pas cette partie du raisonnement. Vous pouvez préciser ? Pourquoi dit-on que c'est impossible ?

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message

    C'est-à-dire, , impossible.
    Merci.

  13. #10
    God's Breath

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Essentiellement parce que est impair, alors que, pour non nul, est pair.
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  14. #11
    tjou

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    D'accord.

    Mais pour la suite je n'ai pas bien compris non plus ...

    Pourquoi analyser deux situations différentes ? Et quel raisonnement se trouve derrière pour pouvoir dire que si m n'est pas une puissance de 2 alors la propriété est vraie ?

    Merci.

  15. #12
    God's Breath

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    On doit résoudre

    c'est-à-dire ...
    Le truc, c'est que et n'ont pas la même parité.

    Si n'est pas une puissance de 2, on écrit avec et impair, et on détermine et en résolvant un des systèmes :
    ou .
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

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  17. #13
    tjou

    Re : Décomposer un entier en une somme d'entiers consécutifs

    Ok merci God's Breath.

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