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[1ère S]Problème d'entiers consécutifs



  1. #1
    neo666

    [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Bonjour à tous!
    Je suis en 1ereS et j'ai eu un exercice dont je ne comprend pas la question:

    Trouvez tous les triplets d'entiers consécutifs dont le produit est égal à la somme

    I don't understand

    Donc si vous pouviez m'expliquer
    Merci

    -----


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  3. #2
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par neo666
    Bonjour à tous!
    Je suis en 1ereS et j'ai eu un exercice dont je ne comprend pas la question:

    Trouvez tous les triplets d'entiers consécutifs dont le produit est égal à la somme

    I don't understand

    Donc si vous pouviez m'expliquer
    Merci
    Ben... la question est assez claire, non ? Tu as trois entiers a, b et c tel que b=a+1 et c=b+1 (donc, un triplet d'entiers consécutifs)... si a*b*c (le produit) est égal à a+b+c (la somme), tu as gagné.

    De premier abord, j'en vois trois. Un exemple, en cadeau : 1, 2, 3 !

  4. #3
    shokin

    Re : Question difficile pour moi

    Si j'ai trois entiers consécutifs :

    le premier est : x
    le deuxième est : x+1
    le troisième et dernier est : x+2

    Résoudre l'équation : (x)(x+1)(x+2) = (x) + (x+1) + (x+2)

    x(x+1)(x+2) = 3x+3

    Truc :

    laisse la gauche à gauche et la droite à droite
    la gauche s'est déjà acoquinée avec les facteurs
    la droite ne s'est pas encore mise en évidence.
    Cherche le compromis entre la gauche et la droite.

    La politique se résout à coups d'équations.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  5. #4
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par shokin
    x(x+1)(x+2) = 3x+3
    Donc, en mettant tout du même coté, on a un polynome de degré 3, d'ou potentiellement trois solutions.

    Cool, je les avais donc toutes !
    Citation Envoyé par shokin
    laisse la gauche à gauche et la droite à droite
    la gauche s'est déjà acoquinée avec les facteurs
    la droite ne s'est pas encore mise en évidence.
    Cherche le compromis entre la gauche et la droite.

  6. #5
    shokin

    Re : Question difficile pour moi

    C'est bien un des premiers problèmes que je m'étais mis à résoudre.

    Du moment qu'on reste dans la linéarité (algèbre linéaire), ça passe.

    Mais dès qu'on sort de la linéarité, je digère moins.

    Au fait, Yat, as-tu déjà essayé le même problème, mais avec trois entiers pas forcément consécutifs ? j'ai trouvé certaines solutions "intuitivement" (à tatillon), mais je ne suis pas sûr qu'elles y soient toutes (il y en a une infinité).

    xyz=x+y+z...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par shokin
    Au fait, Yat, as-tu déjà essayé le même problème, mais avec trois entiers pas forcément consécutifs ? j'ai trouvé certaines solutions "intuitivement" (à tatillon), mais je ne suis pas sûr qu'elles y soient toutes (il y en a une infinité).

    xyz=x+y+z...
    Pour moi les solutions évidentes sont celles ou un des nombres est nul, et les deux autres opposés. Ca sera les seules situations ou un des trois entiers est nul... bon, j'en ai déjà une infinité, mais je pense qu'il en manque encore plein

    Si un des entiers est égal à 1, alors la somme des deux autres doit être égal à leur produit moins 1... ça marche bien avec 2 et 3, mais je pense qu'on ne peut pas aller plus loin : si le plus petit des deux est supérieur à 2, la somme devra être au moins égale au triple moins 1 de l'autre, supérieur à 2 lui aussi... ce qui me semble impossible.

    Pour résumer, j'ai une infinité de solutions plus 2.

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  10. #7
    Romain BERTOUY

    Re : Question difficile pour moi

    tiens vérifie si tu respectes bien les hypothèses, moi je n'ai que 3 solutions, et pas une de plus ! (en prenant l'équation que shokin à donner, on a un polynome de degré 3 donc 3 solution max)
    Romain

  11. #8
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par Romain BERTOUY
    tiens vérifie si tu respectes bien les hypothèses, moi je n'ai que 3 solutions, et pas une de plus ! (en prenant l'équation que shokin à donner, on a un polynome de degré 3 donc 3 solution max)
    Oui, comme dit plus haut il n'y a que trois solutions à la question initiale. Une infinité pour la variante proposée par Shokin.

  12. #9
    benjy_star

    Re : Question difficile pour moi

    Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?

  13. #10
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par benjy_star
    Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?
    Hé hé... j'en ai peur... il y a bien trois triplets. J'ai donné le premier en exemple dans le post 2, tu peux en deviner un deuxième dans le post 6, et un tout petit peu d'imagination pour le troisième...
    Il faut bien noter qu'on parle d'entiers, et pas d'entiers naturels. C'est certainement ça qui te bloque.

  14. #11
    shokin

    Re : Question difficile pour moi

    J'ai également (-3;-2;-1) et (1;2;3)

    ainsi que (-n;0;n), n pouvant même être complexe .

    mais sinon... on peut affirmer que x, y et z ne peuvent pas être tous trois compris dans [-1;0[ ni tous trois dans ]0;1] ni tous trois dans ]1;+inf[ ni tous trois dans ]-inf;1[.

    [Mais si l'un égale 1 et les deux autres strictement supérieurs à 1, seule la combinaison (1;2;3) est possible car :

    Soit l'équation 1*a*x = 1+a+x (d'inconnue x et de paramètre a)

    ax=1+a+x
    ax-x=1+a
    x=(a+1)/(a-1)

    Comme a est entier, ça nous donne les quotients 3/1, 4/2, 5/3... seuls les deux premiers sont entiers, et aboutissent à la "même" solution. [Si on veut que x, y et z soient entiers ; dans le cas où l'on veut que x, y et z soient réels, il y encore un filon à solutions.]

    Raisonnement similaire pour trouver (-1;-2;-3).]

    On peut même exclure qu'il y en ait au moins deux dans ]1;+inf[ ou au moins deux dans ]-inf;-1[. [Que l'on cherche des entiers ou des réels.]

    Parmi les combinaisons comprenant le nombre -1 et/ou 1, seules sont donc (1;2;3), (-3;-2;-1) et (-1;0;1). Parmi celles comprenant le 0, seules sont donc les (-n;0;n).

    On peut même exclure qu'il y en ait au moins deux dans ]0;1[ (intuitivement, mais là peut-être mon intuition me trompe) ou au moins deux dans ]-1;0[. [Si l'on cherche des réels. Si l'on cherche des entiers, il n'y aucun doute car il n'y a aucun entier dans ]0;1[ ]

    Dans le cas où mes intuitions sont justes [dans la recherche du réel], mis à part les solutions déjà citées, les solutions restantes (s'il en existent) comprennent des triplets de trois nombres qui sont compris dans trois intervalles différents parmi les 4 suivants : ]-inf;-1[, ]-1;0[, ]0;1[ et ]1;+inf[

    Si l'on cherche des entiers, reste à examiner les cas où les trois nombres entiers ont une valeur absolue strictement supérieure à 1. Or j'ai affirmé (j'affirme donc j'ai raison mais l'intuition n'est pas raison) qu'il ne pouvait y avoir deux nombres tous deux compris dans l'intervalle ]-inf;-1[ (sauf le cas (-3;-2;-1) ou tous deux dans ]1;+inf[ (sauf le cas (1;2;3). Donc si l'on cherche des entiers, on a trouvé notre panoplie exhaustive de solutions.

    Si l'on cherche des réels... trois réels dans quatre sac (un sac est vide parmi les 4 précités). [Si un sac est vide, chacun des trois autres contient un nombre.]

    Le sac ]1;+inf[ ne peut être vide car, la somme des trois nombres serait négative et le produit positif. Raisonnement similaire si le sac ]-inf;-1[ est vide.

    Restent alors les cas où un nombre est strictement inférieur à 1 (que je nommerai m) et un autre strictement supérieur à 1 (que je nommerai n) et le dernier a une valeur absolue non nulle strictement inférieure à 1 (que je nommerai p).

    Dans le cas où p est compris dans ]-1;0[, le produit est positif, la somme doit donc être positive. Donc n doit avoir une plus grande valeur absolue que m... heu... ben je n'ai (à moins que vous ayez des idées) pas d'autres possibilités que de recourir à :

    abx=a+b+x
    x=(a+b)/(ab-1) [Et comme mn>1, mn est différent de 1.]
    D'où une autre infinité de solutions réelles (a;b;(a+b)/(ab-1))...

    je me demande si c'était bien nécessaire de faire tout ce ram-dam...

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  15. #12
    yat

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par shokin
    J'ai également (-3;-2;-1) et (1;2;3)

    ainsi que (-n;0;n), n pouvant même être complexe
    On est donc d'accord... évidemment, ma démo qu'il n'existe pas d'autres solutions est un peu ( ) moins rigoureuse que la tienne.

    Pour les réels, on aboutit en effet assez immédiatement à c=(a+b)/(ab-1)...

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  17. #13
    Romain BERTOUY

    Re : Question difficile pour moi

    Citation Envoyé par benjy_star
    Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?
    heu non, je voulais dire 3 triplets en fait

    Ensuite pour les hypothèses, il est bien écrit trois entiers consécutifs donc de la forme n,n+1,n+2 n dans Z

    et sommes et produits égaux s'écrit :

    n + (n+1) + (n+2) = n*(n+1)*(n+2)

    ce qui revient à résoudre :
    n^3 + 3n² - n - 3 = 0
    c'est un polynôme de degrés trois donc 3 solutions maximum (ce qui donnera trois triplets démarrant avec chaque "n" racine du polynôme) on peut trouver une solution évidente et factoriser ou aussi remarquer que n+1 de factorise d'entrée de jeu, donc il reste à résoudre :
    (n+1)[n(n+2) - 3] = 0

    bref pour trouver finalement 3 racines entières qui sont :-3 ; -1 ; 1
    ce qui donne les triplets : (-3;-2;-1) ; (-1;0;1) ; (1;2;3) solution du problème
    Romain

  18. #14
    martini_bird

    Re : Question difficile pour moi

    Salut,

    une remarque pas fondamentale.
    Citation Envoyé par Romain BERTOUY
    il est bien écrit trois entiers consécutifs donc de la forme n,n+1,n+2 n dans Z
    j'aurais choisi les entiers sous la forme n-1, n, n+1: la symétrie rend souvent les calculs plus agréables.

    Cordialement.

  19. #15
    neo666

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Merci pour toute ses réponses

  20. #16
    neo666

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Bonjour a tous !
    Suite à toutes vos réponses j'avais cru avoir compris mais en fait non...

    J'ai mis sous forme (n+1)[n(n+2) - 3] = 0

    J'ai résolu (n+1)=0 ---->-1
    J'ai résolu [n(n+2) - 3] = 0 grace a delta ---->admet comme solution :-3 et 1

    Et je ne sait pas quoi faire de plus au secour!!!!!

  21. #17
    neo666

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs


  22. #18
    shokin

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par neo666
    J'ai mis sous forme (n+1)[n(n+2) - 3] = 0
    Pourquoi ?

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

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  24. #19
    neo666

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    dsl je ne suis plus rien la je suis pommé je ne sais meme pas pourquoi j'ai fait sa !!!

    Je suis perdu la

  25. #20
    shokin

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Que n'as-tu pas compris dans nos explications ?

    Désolé si je suis pas très disponible c't'apr'.

    Shokin
    Pardon, humilité, humour, hasard, tolérance, partage, curiosité et diversité => liberté et sérénité.

  26. #21
    yat

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par neo666
    dsl je ne suis plus rien la je suis pommé je ne sais meme pas pourquoi j'ai fait sa !!!

    Je suis perdu la
    Hé hé... je pense que tu as fait ça parce que Romain te l'a dit

    Bon, jusqu'à n^3 + 3n² - n - 3, t'as compris ?

    Pour la suite, tu cherches une racine évidente du polynome. En gros, t'essayes avec 0, 1 et -1. Ici, bingo, ça marche avec -1. Donc tu peux factoriser par x+1. on aura donc un polynome de degré 2 ax²+bx+c tel que (x+1)(ax²+bx+c)=x^3+3x²-x-3.
    Soit ax^3+bx²+cx + ax²+bx+c =x^3+3x²-x-3, ou ax^3+(a+b)x²+(b+c)x+c=x^3+3x²-x-3.
    Donc a=1, a+b=3 donc b=2, et b+c=-1 donc c=-3.
    Du coup on a la factorisation : x^3+3x²-x-3 = (x+1)(x²+2x-3).
    Sous la forme là, on voit bien la racine -1. Les deux autres solutions sont les racines de x²+2x-3. Ca, on sait faire, il suffit de calculer le discriminant : d=16. Les solutions, c'est 1 et -3.

    D'ou les trois solutions (-3,-2,-1), (-1,0,1) et (1,2,3) !

  27. #22
    pow-leen

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    quelqu'un pourrait m'expliké comment il passe de n+(n+1)+(n+2) = n(n+1)(n+2)

    à

    (n+1)[n(n+2)-3]=0

    jarrive pas



    j'ai pas encor fai les equation de 3em degré dc vla

  28. #23
    pow-leen

    effet magnus

    bonjour,
    j'ai un TPE a faire , moi j'ai la parti sur l'effet megnus j'ai déjà pas mal d'info mais il y a une chose que je ne trouve pas malgré mais nombreuses recherches...
    quel impact a la texture, la forme, le poid... de ballons ( de foot) sur l'effet magnus

    voila je voilais savoir si quelqu'un pouvais m'aider un peu ...

    merci d'avance

  29. #24
    futuravia

    Re : [1ère S]Problème d'entiers consécutifs

    Citation Envoyé par yat Voir le message
    Hé hé... je pense que tu as fait ça parce que Romain te l'a dit

    Bon, jusqu'à n^3 + 3n² - n - 3, t'as compris ?

    Pour la suite, tu cherches une racine évidente du polynome. En gros, t'essayes avec 0, 1 et -1. Ici, bingo, ça marche avec -1. Donc tu peux factoriser par x+1. on aura donc un polynome de degré 2 ax²+bx+c tel que (x+1)(ax²+bx+c)=x^3+3x²-x-3.
    Soit ax^3+bx²+cx + ax²+bx+c =x^3+3x²-x-3, ou ax^3+(a+b)x²+(b+c)x+c=x^3+3x²-x-3.
    Donc a=1, a+b=3 donc b=2, et b+c=-1 donc c=-3.
    Du coup on a la factorisation : x^3+3x²-x-3 = (x+1)(x²+2x-3).
    Sous la forme là, on voit bien la racine -1. Les deux autres solutions sont les racines de x²+2x-3. Ca, on sait faire, il suffit de calculer le discriminant : d=16. Les solutions, c'est 1 et -3.

    D'ou les trois solutions (-3,-2,-1), (-1,0,1) et (1,2,3) !
    Bonjour, je ne comprend pas quand je calcul les racines de x²+2x-3, j'obtiens 3 et -1, donc je n'ai pas les meme solution (j'ai donc faux). Quelqu'un peut-il m'expliquer où est mon erreur svp

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