[1ère S]Problème d'entiers consécutifs

[invited66e6fd2]

Bonjour à tous!
Je suis en 1ereS et j'ai eu un exercice dont je ne comprend pas la question:

Trouvez tous les triplets d'entiers consécutifs dont le produit est égal à la somme

I don't understand

Donc si vous pouviez m'expliquer
Merci
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[yat]

Bonjour à tous!
Je suis en 1ereS et j'ai eu un exercice dont je ne comprend pas la question:

Trouvez tous les triplets d'entiers consécutifs dont le produit est égal à la somme

I don't understand

Donc si vous pouviez m'expliquer
Merci

Ben... la question est assez claire, non ? Tu as trois entiers a, b et c tel que b=a+1 et c=b+1 (donc, un triplet d'entiers consécutifs)... si a*b*c (le produit) est égal à a+b+c (la somme), tu as gagné.

De premier abord, j'en vois trois. Un exemple, en cadeau : 1, 2, 3 !

[shokin]

Si j'ai trois entiers consécutifs :

le premier est : x
le deuxième est : x+1
le troisième et dernier est : x+2

Résoudre l'équation : (x)(x+1)(x+2) = (x) + (x+1) + (x+2)

x(x+1)(x+2) = 3x+3

Truc :

laisse la gauche à gauche et la droite à droite
la gauche s'est déjà acoquinée avec les facteurs
la droite ne s'est pas encore mise en évidence.
Cherche le compromis entre la gauche et la droite.

La politique se résout à coups d'équations.

Shokin

[yat]

x(x+1)(x+2) = 3x+3

Donc, en mettant tout du même coté, on a un polynome de degré 3, d'ou potentiellement trois solutions.

Cool, je les avais donc toutes !

laisse la gauche à gauche et la droite à droite
la gauche s'est déjà acoquinée avec les facteurs
la droite ne s'est pas encore mise en évidence.
Cherche le compromis entre la gauche et la droite.

[A voir en vidéo sur Futura]

[shokin]

C'est bien un des premiers problèmes que je m'étais mis à résoudre.

Du moment qu'on reste dans la linéarité (algèbre linéaire), ça passe.

Mais dès qu'on sort de la linéarité, je digère moins.

Au fait, Yat, as-tu déjà essayé le même problème, mais avec trois entiers pas forcément consécutifs ? j'ai trouvé certaines solutions "intuitivement" (à tatillon), mais je ne suis pas sûr qu'elles y soient toutes (il y en a une infinité).

xyz=x+y+z...

Shokin

[yat]

Au fait, Yat, as-tu déjà essayé le même problème, mais avec trois entiers pas forcément consécutifs ? j'ai trouvé certaines solutions "intuitivement" (à tatillon), mais je ne suis pas sûr qu'elles y soient toutes (il y en a une infinité).

xyz=x+y+z...

Pour moi les solutions évidentes sont celles ou un des nombres est nul, et les deux autres opposés. Ca sera les seules situations ou un des trois entiers est nul... bon, j'en ai déjà une infinité, mais je pense qu'il en manque encore plein

Si un des entiers est égal à 1, alors la somme des deux autres doit être égal à leur produit moins 1... ça marche bien avec 2 et 3, mais je pense qu'on ne peut pas aller plus loin : si le plus petit des deux est supérieur à 2, la somme devra être au moins égale au triple moins 1 de l'autre, supérieur à 2 lui aussi... ce qui me semble impossible.

Pour résumer, j'ai une infinité de solutions plus 2.

[invite0f5c0a62]

tiens vérifie si tu respectes bien les hypothèses, moi je n'ai que 3 solutions, et pas une de plus ! (en prenant l'équation que shokin à donner, on a un polynome de degré 3 donc 3 solution max)

[yat]

tiens vérifie si tu respectes bien les hypothèses, moi je n'ai que 3 solutions, et pas une de plus ! (en prenant l'équation que shokin à donner, on a un polynome de degré 3 donc 3 solution max)

Oui, comme dit plus haut il n'y a que trois solutions à la question initiale. Une infinité pour la variante proposée par Shokin.

[invite8241b23e]

Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?

[yat]

Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?

Hé hé... j'en ai peur... il y a bien trois triplets. J'ai donné le premier en exemple dans le post 2, tu peux en deviner un deuxième dans le post 6, et un tout petit peu d'imagination pour le troisième...
Il faut bien noter qu'on parle d'entiers, et pas d'entiers naturels. C'est certainement ça qui te bloque.

[shokin]

J'ai également (-3;-2;-1) et (1;2;3)

ainsi que (-n;0;n), n pouvant même être complexe .

mais sinon... on peut affirmer que x, y et z ne peuvent pas être tous trois compris dans [-1;0[ ni tous trois dans ]0;1] ni tous trois dans ]1;+inf[ ni tous trois dans ]-inf;1[.

[Mais si l'un égale 1 et les deux autres strictement supérieurs à 1, seule la combinaison (1;2;3) est possible car :

Soit l'équation 1*a*x = 1+a+x (d'inconnue x et de paramètre a)

ax=1+a+x
ax-x=1+a
x=(a+1)/(a-1)

Comme a est entier, ça nous donne les quotients 3/1, 4/2, 5/3... seuls les deux premiers sont entiers, et aboutissent à la "même" solution. [Si on veut que x, y et z soient entiers ; dans le cas où l'on veut que x, y et z soient réels, il y encore un filon à solutions.]

Raisonnement similaire pour trouver (-1;-2;-3).]

On peut même exclure qu'il y en ait au moins deux dans ]1;+inf[ ou au moins deux dans ]-inf;-1[. [Que l'on cherche des entiers ou des réels.]

Parmi les combinaisons comprenant le nombre -1 et/ou 1, seules sont donc (1;2;3), (-3;-2;-1) et (-1;0;1). Parmi celles comprenant le 0, seules sont donc les (-n;0;n).

On peut même exclure qu'il y en ait au moins deux dans ]0;1[ (intuitivement, mais là peut-être mon intuition me trompe) ou au moins deux dans ]-1;0[. [Si l'on cherche des réels. Si l'on cherche des entiers, il n'y aucun doute car il n'y a aucun entier dans ]0;1[ ]

Dans le cas où mes intuitions sont justes [dans la recherche du réel], mis à part les solutions déjà citées, les solutions restantes (s'il en existent) comprennent des triplets de trois nombres qui sont compris dans trois intervalles différents parmi les 4 suivants : ]-inf;-1[, ]-1;0[, ]0;1[ et ]1;+inf[

Si l'on cherche des entiers, reste à examiner les cas où les trois nombres entiers ont une valeur absolue strictement supérieure à 1. Or j'ai affirmé (j'affirme donc j'ai raison mais l'intuition n'est pas raison) qu'il ne pouvait y avoir deux nombres tous deux compris dans l'intervalle ]-inf;-1[ (sauf le cas (-3;-2;-1) ou tous deux dans ]1;+inf[ (sauf le cas (1;2;3). Donc si l'on cherche des entiers, on a trouvé notre panoplie exhaustive de solutions.

Si l'on cherche des réels... trois réels dans quatre sac (un sac est vide parmi les 4 précités). [Si un sac est vide, chacun des trois autres contient un nombre.]

Le sac ]1;+inf[ ne peut être vide car, la somme des trois nombres serait négative et le produit positif. Raisonnement similaire si le sac ]-inf;-1[ est vide.

Restent alors les cas où un nombre est strictement inférieur à 1 (que je nommerai m) et un autre strictement supérieur à 1 (que je nommerai n) et le dernier a une valeur absolue non nulle strictement inférieure à 1 (que je nommerai p).

Dans le cas où p est compris dans ]-1;0[, le produit est positif, la somme doit donc être positive. Donc n doit avoir une plus grande valeur absolue que m... heu... ben je n'ai (à moins que vous ayez des idées) pas d'autres possibilités que de recourir à :

abx=a+b+x
x=(a+b)/(ab-1) [Et comme mn>1, mn est différent de 1.]
D'où une autre infinité de solutions réelles (a;b;(a+b)/(ab-1))...

je me demande si c'était bien nécessaire de faire tout ce ram-dam...

Shokin

[yat]

J'ai également (-3;-2;-1) et (1;2;3)

ainsi que (-n;0;n), n pouvant même être complexe

On est donc d'accord... évidemment, ma démo qu'il n'existe pas d'autres solutions est un peu ( ) moins rigoureuse que la tienne.

Pour les réels, on aboutit en effet assez immédiatement à c=(a+b)/(ab-1)...

[invite0f5c0a62]

Heu, je me trompe, ou quand vous dites trois solution, vous voulez dire : une seule "triplette" de solution ? Parce que moi, j'en n'ai alors qu' "une" solutio,... Je me trompe ?

heu non, je voulais dire 3 triplets en fait

Ensuite pour les hypothèses, il est bien écrit trois entiers consécutifs donc de la forme n,n+1,n+2 n dans Z

et sommes et produits égaux s'écrit :

n + (n+1) + (n+2) = n*(n+1)*(n+2)

ce qui revient à résoudre :
n^3 + 3n² - n - 3 = 0
c'est un polynôme de degrés trois donc 3 solutions maximum (ce qui donnera trois triplets démarrant avec chaque "n" racine du polynôme) on peut trouver une solution évidente et factoriser ou aussi remarquer que n+1 de factorise d'entrée de jeu, donc il reste à résoudre :
(n+1)[n(n+2) - 3] = 0

bref pour trouver finalement 3 racines entières qui sont :-3 ; -1 ; 1
ce qui donne les triplets : (-3;-2;-1) ; (-1;0;1) ; (1;2;3) solution du problème

[invite4793db90]

Salut,

une remarque pas fondamentale.

il est bien écrit trois entiers consécutifs donc de la forme n,n+1,n+2 n dans Z

j'aurais choisi les entiers sous la forme n-1, n, n+1: la symétrie rend souvent les calculs plus agréables.

Cordialement.

[invited66e6fd2]

Merci pour toute ses réponses

[invited66e6fd2]

Bonjour a tous !
Suite à toutes vos réponses j'avais cru avoir compris mais en fait non...

J'ai mis sous forme (n+1)[n(n+2) - 3] = 0

J'ai résolu (n+1)=0 ---->-1
J'ai résolu [n(n+2) - 3] = 0 grace a delta ---->admet comme solution :-3 et 1

Et je ne sait pas quoi faire de plus au secour!!!!!

[invited66e6fd2]

[shokin]

J'ai mis sous forme (n+1)[n(n+2) - 3] = 0

Pourquoi ?

Shokin

[invited66e6fd2]

dsl je ne suis plus rien la je suis pommé je ne sais meme pas pourquoi j'ai fait sa !!!

Je suis perdu la

[shokin]

Que n'as-tu pas compris dans nos explications ?

Désolé si je suis pas très disponible c't'apr'.

Shokin

[yat]

dsl je ne suis plus rien la je suis pommé je ne sais meme pas pourquoi j'ai fait sa !!!

Je suis perdu la

Hé hé... je pense que tu as fait ça parce que Romain te l'a dit

Bon, jusqu'à n^3 + 3n² - n - 3, t'as compris ?

Pour la suite, tu cherches une racine évidente du polynome. En gros, t'essayes avec 0, 1 et -1. Ici, bingo, ça marche avec -1. Donc tu peux factoriser par x+1. on aura donc un polynome de degré 2 ax²+bx+c tel que (x+1)(ax²+bx+c)=x^3+3x²-x-3.
Soit ax^3+bx²+cx + ax²+bx+c =x^3+3x²-x-3, ou ax^3+(a+b)x²+(b+c)x+c=x^3+3x²-x-3.
Donc a=1, a+b=3 donc b=2, et b+c=-1 donc c=-3.
Du coup on a la factorisation : x^3+3x²-x-3 = (x+1)(x²+2x-3).
Sous la forme là, on voit bien la racine -1. Les deux autres solutions sont les racines de x²+2x-3. Ca, on sait faire, il suffit de calculer le discriminant : d=16. Les solutions, c'est 1 et -3.

D'ou les trois solutions (-3,-2,-1), (-1,0,1) et (1,2,3) !

[invite4b46c9ff]

quelqu'un pourrait m'expliké comment il passe de n+(n+1)+(n+2) = n(n+1)(n+2)

à

(n+1)[n(n+2)-3]=0

jarrive pas



j'ai pas encor fai les equation de 3em degré dc vla

[invite4b46c9ff]

bonjour,
j'ai un TPE a faire , moi j'ai la parti sur l'effet megnus j'ai déjà pas mal d'info mais il y a une chose que je ne trouve pas malgré mais nombreuses recherches...
quel impact a la texture, la forme, le poid... de ballons ( de foot) sur l'effet magnus

voila je voilais savoir si quelqu'un pouvais m'aider un peu ...

merci d'avance

[inviteedbee370]

Hé hé... je pense que tu as fait ça parce que Romain te l'a dit

Bon, jusqu'à n^3 + 3n² - n - 3, t'as compris ?

Pour la suite, tu cherches une racine évidente du polynome. En gros, t'essayes avec 0, 1 et -1. Ici, bingo, ça marche avec -1. Donc tu peux factoriser par x+1. on aura donc un polynome de degré 2 ax²+bx+c tel que (x+1)(ax²+bx+c)=x^3+3x²-x-3.
Soit ax^3+bx²+cx + ax²+bx+c =x^3+3x²-x-3, ou ax^3+(a+b)x²+(b+c)x+c=x^3+3x²-x-3.
Donc a=1, a+b=3 donc b=2, et b+c=-1 donc c=-3.
Du coup on a la factorisation : x^3+3x²-x-3 = (x+1)(x²+2x-3).
Sous la forme là, on voit bien la racine -1. Les deux autres solutions sont les racines de x²+2x-3. Ca, on sait faire, il suffit de calculer le discriminant : d=16. Les solutions, c'est 1 et -3.

D'ou les trois solutions (-3,-2,-1), (-1,0,1) et (1,2,3) !

Bonjour, je ne comprend pas quand je calcul les racines de x²+2x-3, j'obtiens 3 et -1, donc je n'ai pas les meme solution (j'ai donc faux). Quelqu'un peut-il m'expliquer où est mon erreur svp