Dérivabilité de fonctions [1ère S]

[invitea6056598]

Bonjour à tous,
J'ai un problème concernant un DM de maths à rendre rapidement, je vous le recopie :


Partie A : Dérivabilité de x |---> rac(x) en 0.
f est la fonction défnine sur [0 ; +oo[ par f(x) = rac(x).

1) Vérifier que, pour tout réel h > 0 : [f(h)-f(0)]/h = 1/rac(h)

2) On considère la fonction g définie sur ]0 ; +oo[ par : g(h) = 1/rac(h).
Dans quel intervalle faut-il choisir h pour que g(h) > 1050
Dans quel intervalle faut-il choisir h pour que g(h) > 10100
[…]

3) En déduire que f n’est pas dérivable en zéro.

4) La courbe C, représentant f dans un repère, admet l’axe des ordonnées comme tangente en zéro. Expliquer pourquoi.


Partie B : Dérivabilité de x |---> x*rac(x) en 0 [Partie indépendante de la partie A]
On désigne par C la courbe représentative de la fonction f définie sur [0 ; +oo[ par : f(x) = x*rac(x).

1) a) Justifier, à l’aide des théorèmes du cours, que f est dérivable sur [0 ; +oo[.
b) En calculant un taux de variation, prouver que f est dérivable en zéro.
c) Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

2) Donner l’équation réduite de la tangente à C au point O (origine du repère).

3) Un théorème du cours prouve que « f et g dérivables en a » est une condition suffisante pour que « fg soit dérivable en a ». Est-ce une condition nécessaire ?


Voilà. Bien sûr, je ne vais pas demander ici de faire faire tout mon devoir. J'ai déjà fait la partie a jusqu'au 3), mais je ne vois pas du tout comment on fait pour le 4). J'aimerais qu'on m'explique, ou qu'on me mette sur la voie.

Pour la Partie B, je n'arrive pas à résoudre la 1) b) et 1) c), je ne peux donc pas continuer.

Pouvez-vous m'aider ?
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[invitea6056598]

Désolé pour le double post, mais c'est assez urgent...

[lapin savant]

Salut,

4) La courbe C, représentant f dans un repère, admet l’axe des ordonnées comme tangente en zéro. Expliquer pourquoi.

La fonction n'est pas dérivable en 0 <=> son taux d'accroissement n'admet pas de limite finie en 0, autrement dit, la tangente a une pente infinie (<=> droite verticale).

1) a) Justifier, à l’aide des théorèmes du cours, que f est dérivable sur [0 ; +oo[.
b) En calculant un taux de variation, prouver que f est dérivable en zéro.
c) Que peut-on en déduire pour la courbe C ?

b) Montrer que admet une limite en 0.
c) tangente en 0 (direction ?)

[Flyingsquirrel]

La fonction n'est pas dérivable en 0 <=> son taux d'accroissement n'admet pas de limite finie en 0, autrement dit, la tangente a une pente infinie (<=> droite verticale).

Il existe tout de même des fonctions qui ne sont pas dérivables en un point et dont la courbe n'admet pas de tangente verticale. Par exemple la fonction de dans définie par

En 0 le taux d'accroissement est et il n'admet pas de limite quand tend vers 0... mais il n'y a pas de tangente verticale pour autant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

Oui exact, je n'avais pas en tête les fonctions qui n'ont pas de limite du tout ! C'est un abus de langage de ma part : j'entendais par là que le taux tend vers l'infini (il n'a pas de limite finie).

C'est important de préciser afin de ne pas porter à confusion, merci.

[invitea6056598]

Merci beaucoup pour ces réponses, vraiment.

J'ai simplement un doute pour la question 1) a) de la Partie B de l'exercice 2, il faut simplement en déduire que la tangente en 0 de la courbe C est confondue avec l'axe des abscisses ?

[lapin savant]

Oui. (je pense que tu voulais parler de la 1)c)).

[invitea6056598]

Oui bien sûr je parlais du c) Merci encore