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Produit scalaire



  1. #1
    jani

    Unhappy Produit scalaire


    ------

    Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.

    j'essai avec pleins de façon différentes mais j'arrive pas à démontrer l'égalité.Il faut que j'utilise le produit scalaire.
    svp aidez moi

    -----

  2. #2
    tuan

    Re : DM urgent aidez moi svp (Produit scalaire)

    Faut-il encore expliquer que dans un triangle quelconque on a (avec les notations habituelles) cette formule FONDAMENTALE:
    a2 = b2 +c2 -2bc.cos(A) ?

    1) En appliquant aux trois côtés et après la sommation...
    2(bc.cosA +ca.cosB +ab.cosC) = a2 +b2 +c2

    2) La médiane AM coupe le triangles en 2 autres... On applique la formule fondamentale deux fois pour mA :
    mA2 = c2 +a2/4 -ac.cosB et
    mA2 = b2 +a2/4 -ab.cosC
    Additionnant les deux...
    2mA2 = b2 +c2 +a2/2 - (ac.cosB +ab.cosC)

    3) Fais la même chose pour les deux autres mB et mC et additionne tous, tu obtiendras bien le résultat...
    mA2 +mB2 +mC2 = 3(a2 +b2 +c2)/4

  3. #3
    tuan

    Re : DM urgent aidez moi svp (Produit scalaire)

    Citation Envoyé par jani Voir le message
    ...
    .il faut que j'utilise le produit scalaire.
    BC = BA +AC
    BC.BC = (BA +AC).(BA +AC)
    = BA.BA +AC.AC + 2BA.AC

    = c2 + b2 + 2bc.cos(BA,AC)
    = c2 + b2 - 2bc.cos(AB,AC)

    a2 = c2 + b2 - 2bc.cos(A)

  4. #4
    jani

    Re : DM urgent aidez moi svp (Produit scalaire)


    merci en+ j'ai bien comprit

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    jani

    Re : DM urgent aidez moi svp (Produit scalaire)

    mé just pour BC = BA +AC c valable que dans un triqngle rectangle.

  7. #6
    tuan

    Re : DM urgent aidez moi svp (Produit scalaire)

    Citation Envoyé par jani Voir le message
    mé just pour BC = BA +AC c valable que dans un triqngle rectangle.
    Plus exactement BC = BA +AC (en gras =vecteurs).
    C'est une relation de Chasles, toujours valable quels que soient A,B,C

    Quant à a2 = b2+c2 -2bc.cos(A) ça reste valable aussi pour le triangle rectangle en A car cos(A)= 0

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