Produit scalaire

[invite691233cf]

Démontrer que dans tout triangle, la somme des carrés des médianes est les trois quarts de la somme des carrés des côtés.

j'essai avec pleins de façon différentes mais j'arrive pas à démontrer l'égalité.Il faut que j'utilise le produit scalaire.
svp aidez moi

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[invitea84d96f1]

Faut-il encore expliquer que dans un triangle quelconque on a (avec les notations habituelles) cette formule FONDAMENTALE:
a² = b² +c² -2bc.cos(A) ?

1) En appliquant aux trois côtés et après la sommation...
2(bc.cosA +ca.cosB +ab.cosC) = a² +b² +c²

2) La médiane AM coupe le triangles en 2 autres... On applique la formule fondamentale deux fois pour m_A :
m_A² = c² +a²/4 -ac.cosB et
m_A² = b² +a²/4 -ab.cosC
Additionnant les deux...
2m_A² = b² +c² +a²/2 - (ac.cosB +ab.cosC)

3) Fais la même chose pour les deux autres m_B et m_C et additionne tous, tu obtiendras bien le résultat...
m_A² +m_B² +m_C² = 3(a² +b² +c²)/4

[invitea84d96f1]

...
.il faut que j'utilise le produit scalaire.

BC = BA +AC
BC.BC = (BA +AC).(BA +AC)
= BA.BA +AC.AC + 2BA.AC
= c² + b² + 2bc.cos(BA,AC)
= c² + b² - 2bc.cos(AB,AC)

a² = c² + b² - 2bc.cos(A)

[invite691233cf]

merci en+ j'ai bien comprit

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite691233cf]

mé just pour BC = BA +AC c valable que dans un triqngle rectangle.

[invitea84d96f1]

mé just pour BC = BA +AC c valable que dans un triqngle rectangle.

Plus exactement BC = BA +AC (en gras =vecteurs).
C'est une relation de Chasles, toujours valable quels que soient A,B,C

Quant à a² = b²+c² -2bc.cos(A) ça reste valable aussi pour le triangle rectangle en A car cos(A)= 0