Preuve par induction

[invited10fa908]

Bonsoir !
Alors voilà, il ne me reste qu'un seul problème à résoudre et j'aurai fini mon étude pour mon contrôle de math. Le seul problème, c'est que j'essaye depuis déjà un bon moment de prouver la même chose, et je ne sais même pas par où commencer alors j'ai décidé de venir demander de l'aide ici !

Donc c'est une preuve à faire, par induction:
1) si n = 1
2) si n= k on suppose que la formule fonctionne (hypothèse d'induction)
3) si n= k+1 : on doit arriver à la formule de départ, mais n est transformé en (k+1)

J'arrive à faire les deux premières étapes, c'est simple, c'est seulement de remplacer les données (1 et k) dans la formule, mais rendu à la troisième étape je suis perdue.

Merci à l'avance de votre aide
*la preuve à faire est liée dans une pièce jointe à ce message*
-----

[invited10fa908]

Puisque la pièce jointe est en attente de validation et que je ne sais combien de temps cela va prendre, voici la preuve à faire:

dx^n / dx = nx^(n-1)

[invitec317278e]

il suffit de dire que puis de dériver la seconde expression avec la formule de la dérivée du produit de x et de x^n

[Arkangelsk]

Bonjour,

Puisque la pièce jointe est en attente de validation et que je ne sais combien de temps cela va prendre, voici la preuve à faire:

dx^n / dx = nx^(n-1)

Il faut démontrer que en utilisant l'hypothèse de récurrence ("la preuve") et la formule de dérivation du produit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Bonjour,

1) si n = 1
2) si n= k on suppose que la formule fonctionne (hypothèse d'induction)
3) si n= k+1 : on doit arriver à la formule de départ, mais n est transformé en (k+1)

Ta propriété étant : , tu es amené à construire le raisonnement comme suit.

1) Si , la propriété est : c'est vrai parce que...

2) On suppose que l'hypothèse vaut au rang , c'est-à-dire .

3) Il faut établir l'hypothèse au rang , c'est-à-dire . Le problème est donc de calculer en fonction de ; il suffit de dériver un produit : ...

[invited10fa908]

D'abord, merci de toutes ces réponses!
Par contre, God's Breath, je comprend bien ce que vous faites dans les 2 premières étapes et au début de la troisième. Par contre, le produit que je dois dériver, est-ce bien x^(k+1) = (x^k)*x ?
Si oui, pourquoi doit-on dériver ce produit précisément??

[invited10fa908]

Rebonjour !
Alors voilà, après essais et relecture minutieuse des notes de cours, j'ai bien compris pourquoi on dérivait le produit (x^k*x) pour la preuve.
Donc, la méthode suivante est-elle la bonne ?

1)on sait que x^(k+1) = (x^k)*x
2)On dérive un produit donc : u'v + uv' et par l'hypothèse d'induction, on sait que (x^k)' = kx^(k-1)
3)On applique la formule de dérivation:
((x^k)*x )' = (kx^(k-1))*x + (x^k)*1
= k(x^(k-1+1)) + (x^k)
= (x^k)*kx + (x^k)
= (x^k)*(k+1)->après mise en évidence de(x^k)

Est-ce la bonne façon de prouver la forumle de départ ??

Merci à l'avance de votre aide

[Arkangelsk]

Rebonjour !
Alors voilà, après essais et relecture minutieuse des notes de cours, j'ai bien compris pourquoi on dérivait le produit (x^k*x) pour la preuve.
Donc, la méthode suivante est-elle la bonne ?

1)on sait que x^(k+1) = (x^k)*x
2)On dérive un produit donc : u'v + uv' et par l'hypothèse d'induction, on sait que (x^k)' = kx^(k-1)
3)On applique la formule de dérivation:
((x^k)*x )' = (kx^(k-1))*x + (x^k)*1
= k(x^(k-1+1)) + (x^k)
= (x^k)*kx + (x^k)
= (x^k)*(k+1)->après mise en évidence de(x^k)

Est-ce la bonne façon de prouver la forumle de départ ??

Merci à l'avance de votre aide

Oui, tu as compris, c'est bien correct. Sauf que ton calcul est un chouia long et qu'il y a une erreur (ligne en gras).

[invited10fa908]

Super merci beaucoup!! Oh et pour l'erreur, je m'en suis rendu compte peu de temps après avoir envoyé le message, c'est juste un "x" en trop !
Merci beaucoup de votre aide