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Preuve par induction



  1. #1
    colepower3

    Exclamation Preuve par induction


    ------

    Bonsoir !
    Alors voilà, il ne me reste qu'un seul problème à résoudre et j'aurai fini mon étude pour mon contrôle de math. Le seul problème, c'est que j'essaye depuis déjà un bon moment de prouver la même chose, et je ne sais même pas par où commencer alors j'ai décidé de venir demander de l'aide ici !

    Donc c'est une preuve à faire, par induction:
    1) si n = 1
    2) si n= k on suppose que la formule fonctionne (hypothèse d'induction)
    3) si n= k+1 : on doit arriver à la formule de départ, mais n est transformé en (k+1)

    J'arrive à faire les deux premières étapes, c'est simple, c'est seulement de remplacer les données (1 et k) dans la formule, mais rendu à la troisième étape je suis perdue.

    Merci à l'avance de votre aide
    *la preuve à faire est liée dans une pièce jointe à ce message*

    -----
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  4. #2
    colepower3

    Re : Preuve par induction

    Puisque la pièce jointe est en attente de validation et que je ne sais combien de temps cela va prendre, voici la preuve à faire:

    dx^n / dx = nx^(n-1)

  5. #3
    Thorin

    Re : Preuve par induction

    il suffit de dire que puis de dériver la seconde expression avec la formule de la dérivée du produit de x et de x^n
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  6. #4
    Arkangelsk

    Re : Preuve par induction

    Bonjour,

    Citation Envoyé par colepower3 Voir le message
    Puisque la pièce jointe est en attente de validation et que je ne sais combien de temps cela va prendre, voici la preuve à faire:

    dx^n / dx = nx^(n-1)
    Il faut démontrer que en utilisant l'hypothèse de récurrence ("la preuve") et la formule de dérivation du produit.

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  8. #5
    God's Breath

    Re : Preuve par induction

    Bonjour,

    Citation Envoyé par colepower3 Voir le message
    1) si n = 1
    2) si n= k on suppose que la formule fonctionne (hypothèse d'induction)
    3) si n= k+1 : on doit arriver à la formule de départ, mais n est transformé en (k+1)
    Ta propriété étant : , tu es amené à construire le raisonnement comme suit.

    1) Si , la propriété est : c'est vrai parce que...

    2) On suppose que l'hypothèse vaut au rang , c'est-à-dire .

    3) Il faut établir l'hypothèse au rang , c'est-à-dire . Le problème est donc de calculer en fonction de ; il suffit de dériver un produit : ...
    Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

  9. #6
    colepower3

    Re : Preuve par induction

    D'abord, merci de toutes ces réponses!
    Par contre, God's Breath, je comprend bien ce que vous faites dans les 2 premières étapes et au début de la troisième. Par contre, le produit que je dois dériver, est-ce bien x^(k+1) = (x^k)*x ?
    Si oui, pourquoi doit-on dériver ce produit précisément??

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  11. #7
    colepower3

    Re : Preuve par induction

    Rebonjour !
    Alors voilà, après essais et relecture minutieuse des notes de cours, j'ai bien compris pourquoi on dérivait le produit (x^k*x) pour la preuve.
    Donc, la méthode suivante est-elle la bonne ?

    1)on sait que x^(k+1) = (x^k)*x
    2)On dérive un produit donc : u'v + uv' et par l'hypothèse d'induction, on sait que (x^k)' = kx^(k-1)
    3)On applique la formule de dérivation:
    ((x^k)*x )' = (kx^(k-1))*x + (x^k)*1
    = k(x^(k-1+1)) + (x^k)
    = (x^k)*kx + (x^k)
    = (x^k)*(k+1)->après mise en évidence de(x^k)

    Est-ce la bonne façon de prouver la forumle de départ ??

    Merci à l'avance de votre aide

  12. #8
    Arkangelsk

    Re : Preuve par induction

    Citation Envoyé par colepower3 Voir le message
    Rebonjour !
    Alors voilà, après essais et relecture minutieuse des notes de cours, j'ai bien compris pourquoi on dérivait le produit (x^k*x) pour la preuve.
    Donc, la méthode suivante est-elle la bonne ?

    1)on sait que x^(k+1) = (x^k)*x
    2)On dérive un produit donc : u'v + uv' et par l'hypothèse d'induction, on sait que (x^k)' = kx^(k-1)
    3)On applique la formule de dérivation:
    ((x^k)*x )' = (kx^(k-1))*x + (x^k)*1
    = k(x^(k-1+1)) + (x^k)
    = (x^k)*kx + (x^k)
    = (x^k)*(k+1)->après mise en évidence de(x^k)

    Est-ce la bonne façon de prouver la forumle de départ ??

    Merci à l'avance de votre aide
    Oui, tu as compris, c'est bien correct. Sauf que ton calcul est un chouia long et qu'il y a une erreur (ligne en gras).

  13. #9
    colepower3

    Re : Preuve par induction

    Super merci beaucoup!! Oh et pour l'erreur, je m'en suis rendu compte peu de temps après avoir envoyé le message, c'est juste un "x" en trop !
    Merci beaucoup de votre aide

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