Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 8 sur 8

Définition des fonctions cos et sin



  1. #1
    tjou

    Définition des fonctions cos et sin


    ------

    Bonjour, depuis la 4ème on nous balance la notion cosinus et les sinus, et j'aurais souhaité savoir comment peut-on définir ces deux fonctions, autrement que par les rapports dans un triangle rectangle, et par la méthode de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point sur le cercle trigo ?

    D'où viennent ces fonctions ?

    Merci.

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    Thorin

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    C'est pas évident ; dis nous d'abord en quelle classe tu es, afin que je te donne une réponse adaptée.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  4. #3
    Thorin

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Et, de plus, est-ce que tu connais la notation , pour désigner une somme ?
    et les complexes ?
    et les intégrales et primitives ?

    (ce n'est pas forcément nécessaire, c'est pour voir où je peux aller)
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  5. #4
    tjou

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Oui Thorin, je connais la notation , ainsi que les différentes notions que tu as cité, niveau TS.

    Merci

  6. #5
    Thorin

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Génial, je peux y aller, alors.

    Voici une présentation :

    Refaisons le monde !
    Un monde dans lequel tout commence par la fonction exponentielle complexe.

    C'est la fonction qui à un complexe associe la limite quand n tend vers l'infini de (c'est a dire ).
    Des théorèmes montrent que pour tout complexe, cette suite converge, des théorèmes montrent aussi que la fonction qu'on définit ainsi est continue, et dérivable autant de fois qu'on le veut.
    Cette fonction est notée .

    on définit ensuite l'application qui à un réel associe . cette application est définie grâce au fait qu'on a précédemment défini l'exponentielle complexe.

    Et j'en viens au fait : on définit cosinus ainsi :

    et

    (autrement dit, grâce aux formules d'euler)

    Pour la beauté de la chose, je vais parler de pi :
    on peut démontrer qu'il existe un réel a tel que l'ensemble des réels vérifiant soit égal à (on continue bien sûr jusqu'à l'infini).
    On définit .

    Ensuite, on peut redémontrer toutes les formules connues...
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Thorin

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Une autre présentation :

    On peut définir la fonction qui à associe .
    On nomme cette fonction , elle est définie sur [-1,1], et continue, et strictement croissante
    On définit ensuite une fonction sur [-1,1], telle que pour tout dans [-1,1], on ait , on a le droit parce que est bijective, continue...

    on définit finalement sur R entier telle que elle soit périodique de période 2.pi et que sin(x+pi)=-sin(x), ça doit marcher
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  9. Publicité
  10. #7
    tjou

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Ok merci Thorin pour cette présentation.

    Au fond elles sont toutes liées entre elles, les formules d'Euler traduisent en quelque sorte la présentation avec le cercle trigo.

    est un complexe de module 1 et d'argument donc sur le cercle trigo dans le plan complexe.

    Et en transformant un peu les formules d'Euler on trouve :


  11. #8
    Thorin

    Re : Définition des fonctions cos et sin

    Oui, d'ailleurs, on pourrait tout aussi bien définir cos et sin comme les parties réelles et imaginaires de e^it, et alors, les formules d'euler ne seraient plus que des propriétés.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

Sur le même thème :

Discussions similaires

  1. démonstration: transformation de cos+sin en cos(W+y) ??
    Par miketyson42 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 19
    Dernier message: 09/02/2018, 15h34
  2. Sin et Cos
    Par fabien0077 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 04/11/2008, 23h30
  3. Intégration cos(cos(x)) et sin(cos(x))
    Par julien.laget dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 2
    Dernier message: 30/06/2008, 10h35
  4. cos/sin
    Par bastien83 dans le forum Mathématiques du supérieur
    Réponses: 1
    Dernier message: 03/02/2008, 16h02
  5. Simplification du quotient de 2 fonctions du type a+b*cos(2x)+c*cos(4x)
    Par pola4619 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 5
    Dernier message: 18/05/2006, 13h37