Définition des fonctions cos et sin

[invite8a216543]

Bonjour, depuis la 4ème on nous balance la notion cosinus et les sinus, et j'aurais souhaité savoir comment peut-on définir ces deux fonctions, autrement que par les rapports dans un triangle rectangle, et par la méthode de l'abscisse et de l'ordonnée d'un point sur le cercle trigo ?

D'où viennent ces fonctions ?

Merci.
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[invitec317278e]

C'est pas évident ; dis nous d'abord en quelle classe tu es, afin que je te donne une réponse adaptée.

[invitec317278e]

Et, de plus, est-ce que tu connais la notation , pour désigner une somme ?
et les complexes ?
et les intégrales et primitives ?

(ce n'est pas forcément nécessaire, c'est pour voir où je peux aller)

[invite8a216543]

Oui Thorin, je connais la notation , ainsi que les différentes notions que tu as cité, niveau TS.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Génial, je peux y aller, alors.

Voici une présentation :

Refaisons le monde !
Un monde dans lequel tout commence par la fonction exponentielle complexe.

C'est la fonction qui à un complexe associe la limite quand n tend vers l'infini de (c'est a dire ).
Des théorèmes montrent que pour tout complexe, cette suite converge, des théorèmes montrent aussi que la fonction qu'on définit ainsi est continue, et dérivable autant de fois qu'on le veut.
Cette fonction est notée .

on définit ensuite l'application qui à un réel associe . cette application est définie grâce au fait qu'on a précédemment défini l'exponentielle complexe.

Et j'en viens au fait : on définit cosinus ainsi :

et

(autrement dit, grâce aux formules d'euler)

Pour la beauté de la chose, je vais parler de pi :
on peut démontrer qu'il existe un réel a tel que l'ensemble des réels vérifiant soit égal à (on continue bien sûr jusqu'à l'infini).
On définit .

Ensuite, on peut redémontrer toutes les formules connues...

[invitec317278e]

Une autre présentation :

On peut définir la fonction qui à associe .
On nomme cette fonction , elle est définie sur [-1,1], et continue, et strictement croissante
On définit ensuite une fonction sur [-1,1], telle que pour tout dans [-1,1], on ait , on a le droit parce que est bijective, continue...

on définit finalement sur R entier telle que elle soit périodique de période 2.pi et que sin(x+pi)=-sin(x), ça doit marcher

[invite8a216543]

Ok merci Thorin pour cette présentation.

Au fond elles sont toutes liées entre elles, les formules d'Euler traduisent en quelque sorte la présentation avec le cercle trigo.

est un complexe de module 1 et d'argument donc sur le cercle trigo dans le plan complexe.

Et en transformant un peu les formules d'Euler on trouve :

[invitec317278e]

Oui, d'ailleurs, on pourrait tout aussi bien définir cos et sin comme les parties réelles et imaginaires de e^it, et alors, les formules d'euler ne seraient plus que des propriétés.