Petite question sur la loi binomiale en proba.

[invite6db5b418]

Bonjour à tous !


Voilà, j'essaye de résoudre le fameux paradoxe de l'anniversaire, en calculant la probabilité que dans une classe de 32 élèves deux personnes soient nées le même jour (365 jours par an). Si on fait au moins deux personnes c'est assez simple ((365!)/((365-32)!*365^32))) mais ensuite je cherche la probabilité que exactement deux élèves soit nés le même jour.


Donc je me dis que pour cela je vais utiliser la loi binomiale (je n'ai pas encore fait le chapitre sur les combinaisons) en faisant la probabilité que exactement deux personne soient nées un jour en particulier puis en multipliant ensuite par 365. Donc X le nombre de personnes nées le jour J
Ca me fait : p(X=2) (combinaison 32/2)*(1/365)^2*(364/365)^30

Mais ce nombre est nettement trop grand (supérieur à 1/365)... Donc je voulais savoir si vous voyez une erreur, ou si tout simplement je me plante de méthode...

Merci d'avance et bonne soirée à tous
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[inviteec9de84d]

Salut,

Si on fait au moins deux personnes c'est assez simple ((365!)/((365-32)!*365^32)))

Tout d'abord, ceci n'est pas encore la probabilité souhaitée : cela correspond à la probabilité qu'aucune paire de personnes ne soit nées le même jour (i.e. l'événement contraire de "au moins 2 personnes sont nées le même jour").
Cette proba est relativement faible (fait l'application numérique), alors que le "paradoxe" vient justement du fait que, contrairement à l'intuition, dans un groupe de personnes (>22) il y a plus d'une chance sur 2 pour que cela arrive.
Il ne te manque pas grand chose : P("au moins 2") = 1 - (365!)/((365-32)!*365^32)
et tu verras que c'est > 50%.

Deuxièmement :

Donc je me dis que pour cela je vais utiliser la loi binomiale

Je dirais tout simplement que ta variable aléatoire ne suit pas une loi binômiale : il faudrait prendre une v.a. suivant un processus de Bernoulli (oui ou non nées le même jour) que tu répètes de manière indépendante pour chaque paire. Ensuite X compte le nombre de succès (X suit alors bien une loi binômiale et tu cherches la proba que X=2).

[invite6db5b418]

Il ne te manque pas grand chose : P("au moins 2") = 1 - (365!)/((365-32)!*365^32)

Euh oui, désolé, c'est ce que je voulais écrire^^ ça donne environ 76%

Je dirais tout simplement que ta variable aléatoire ne suit pas une loi binômiale : il faudrait prendre une v.a. suivant un processus de Bernoulli (oui ou non nées le même jour) que tu répètes de manière indépendante pour chaque paire. Ensuite X compte le nombre de succès (X suit alors bien une loi binômiale et tu cherches la proba que X=2).

Donc sachant que j'ai paires, la probabilité va me donner : mais ça me donne une probabilité bien trop faible (0,34%)

A moins que tu ne veuilles dire (ce que je pense) que je doive faire :
ce qui semble plus cohérent

En tout cas, merci beaucoup

[invite6db5b418]

Euh... Mais je viens de voir un truc, pourquoi on fait X=2 ? Puisque X donne le nombre de paires d'élèves nés le même jour, il faudrait plutôt calculer X=1, non ? J'obtiens 35% dans ce cas là

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteec9de84d]

Euh... Mais je viens de voir un truc, pourquoi on fait X=2 ? Puisque X donne le nombre de paires d'élèves nés le même jour, il faudrait plutôt calculer X=1, non ?

Oui, en effet il faut compter le nombre de paires, soit une paire pour exactement un couple de personnes.

[invite6db5b418]

Ok, et si je cherche la probabilité que au moins 3 personnes soient nées le même jour ?
Là je ne sais pas vraiment comment partir. Soit je fais l'événement inverse, c'est-à-dire : aucun élève n'est né le même jour que deux élèves ou plus; ou bien je tente de trouver directement mais ça me parait assez dur...

Si quelqu'un avait une piste...

[invite6db5b418]

Je remonte le topic, car je me pose une question :
Comment cela peut marcher alors que les expériences ne sont pas indépendantes les unes des autres ? Si A est né le même jour que B mais pas le même que C, alors C et B sont nés des jours différents... Donc je ne peux pas appliquer la loi binomiale...

J'ai essayé aussi de subdiviser les 496 paires en 31 "groupes" de 16 paires indépendantes entre elles et de les étudier séparément. Donc si on fait X la variable aléatoire qui donne le nombre de paires "même jour" dans un groupes de 16 paires, et A l'événement :"exactement deux personnes sont nées le même jour" on aurait :
ce qui est stupide car ça donne le même calcul que ce qu'on avait avant^^

Et puis en plus bien entendu là encore ça ne marche pas car les p(X=0) et les p(X=1) ne sont pas non plus indépendants entre eux. En effet, si un élève A est né un jour différent de n personnes et que un élève B est né un jour différent de ces mêmes n personnes, alors ils ont chances d'être né le même jour, et non plus 365...

J'arrive vraiment pas à sortir de ça.

Mais le "indépendant" en gras que tu as écrit m'intrigue, comment puis-je les calculer indépendamment si les événements ne sont justement pas indépendants les uns des autres ? Quelque chose doit m'échapper, et c'était justement le plus important de ta remarque il me semble^^

[invite6db5b418]

Finalement, voilà ce que j'ai fait :

J'ai pris l'événement B "pour un jour donné, deux personnes exactement sont nées ce jour et toutes les autres sont nées des jours différents". Donc sa probabilité est de :


Ensuite je prends l'événement inverse, donc pour le même jour donné :
- Soit un nombre différent de 2 personnes sont nées ce jours là.
- Soit deux personnes sont nées ce jour là mais parmi les autres au moins deux sont nées le même jour.

Je le mets à la puissance 365 donc j'obtiens le même événement pour chaque jour. Et là je reprend l'événement inverse qui est celui que je cherche : "Il existe au moins un jour durant lequel exactement deux personnes sont nées et toutes les autres sont nées des jours différents deux à deux". Soit A cet événement :


Est-ce juste ?

[invite6db5b418]

Oups, désolé, Il faut remplacer les 365 et les 335 dans les factorielles par des 364 et des 334 respectivement...